正合函子

设 ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'}$  为阿贝尔范畴，${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}$  为加法函子。若对每个正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow X_{i}\longrightarrow X_{i-1}\longrightarrow \cdots }$ 

取 ${\displaystyle F}$  后得到的序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow F(X_{i})\longrightarrow F(X_{i-1})\longrightarrow \cdots }$ 

仍为正合序列，则称 ${\displaystyle F}$  为正合函子。

由于正合序列总能拆解为短正合序列，在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外，若对每个短正合序列 ${\displaystyle 0\to X'\to X\to X''\to 0}$ ，其像截去尾端零对象后 ${\displaystyle 0\to F(X')\to F(X)\to F(X'')}$  为正合序列，则称 ${\displaystyle F}$  是左正合函子；类似地，若 ${\displaystyle F(X')\to F(X)\to F(X'')\to 0}$  为正合序列，则称 ${\displaystyle F}$  是右正合函子。正合性等价于左正合性＋右正合性。

考虑一个函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}'}$ 。

• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 里存在任意的有限射影极限，且${\displaystyle F}$ 与有限射影极限交换（即：${\displaystyle F(\varprojlim _{i}X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}\varprojlim _{i}F(X_{i})}$ ），则称${\displaystyle F}$ 为左正合。
• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 里存在任意的有限归纳极限，且${\displaystyle F}$ 与有限归纳极限交换（即：${\displaystyle \varinjlim _{i}F(X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}F(\varinjlim _{i}X_{i})}$ ），则称${\displaystyle F}$ 为右正合。
• 若上述条件同时被满足，则称${\displaystyle F}$ 为正合。

在阿贝尔范畴中，由于任意有限射影（或归纳）极限可以由核（或上核）与有限积（或上积）生成，此时的定义遂回归到正合序列的定义。

• 根据极限的泛性质，${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)}$ 函子无论对哪个变数都是左正合的，这是左正合函子的基本例子。
• 设${\displaystyle (F,G)}$ 是一对伴随函子。若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 存在任意有限归纳极限，则${\displaystyle F}$ 右正合；若存在任意有限射影极限，${\displaystyle G}$ 左正合。此法可建立许多函子的正合性。
• 设 ${\displaystyle X}$  为拓扑空间，阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子 ${\displaystyle X\mapsto F(X)}$  是左正合函子。
• 设 ${\displaystyle R}$  为环，${\displaystyle T}$  为右 ${\displaystyle R}$ -模，则左 ${\displaystyle R}$ -模范畴上的张量积函子 ${\displaystyle T\otimes _{R}-}$  是右正合函子。
• 设 ${\displaystyle {\mathcal {A}},\;{\mathcal {B}}}$  为两个阿贝尔范畴，考虑函子范畴 ${\displaystyle {\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}}${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}}  ，固定一对象 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ，对 ${\displaystyle A}$  的“求值”是正合函子。

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490