正合序列

在群论里，一个由群及群同态所组成的序列

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$ 

称之为正合序列，当且仅当该序列中的每一个同态的像均等于其下一个同态的核：

${\displaystyle \operatorname {im} (f_{k})=\ker(f_{k+1})}$ 

上述的正合序列可以为有限序列，亦或是无限序列。

在其他的代数结构里也可以得出类似的定义，如将群与群同态替换成向量空间与线性映射，或是模与模同态，也都可以得出类似的正合序列定义。更一般性地来说，任何一个具有核与上核的范畴里都能形成正合序列的概念。

简单例子

下面会举出一些相对简单的例子来帮助理解上述定义。这些例子均以平凡群作为开头或结束，一般会将此一平凡群标记为0（表示加法运算，一般用于序列内的群为阿贝尔群时），或标记为1（表示乘法运算）。

• 序列0 → A → B 为正合序列，当且仅当从A 至B 的映射，其核为{0}，亦即当且仅当该映射为单射。
• 在对偶时，序列B → C → 0 为正合序列，当且仅当从B 至C 的映射，其像为整个C，亦即当且仅当该映射为满射。
• 因此，序列0 → X → Y → 0 为正合序列，当且仅当从X 至Y 的映射同时为单射及满射（即为双射），并因此在大多数状况下，该映射为从X 至Y 的同构。

短正合序列

短正合序列为具有下列形式的正合序列

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0}$ 

如上所述，对任何一个短正合序列，f 一定为单射，且g 一定为满射，且f 的像会等于g 的核。因此，可导出一同构

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}$ 

若以下任一等价（依据分裂引理）条件成立，则称短正合序列${\displaystyle 0\longrightarrow A'{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A''\longrightarrow 0}$  分裂：

• ${\displaystyle g}$ 有截面（即存在${\displaystyle s:A''\rightarrow A}$ 使得${\displaystyle g\circ s=\mathrm {id} _{A''}}$ ）
• ${\displaystyle f}$ 有缩回（即存在${\displaystyle r:A\rightarrow A'}$ 使得${\displaystyle r\circ f=\mathrm {id} _{A'}}$ ）
• 该短正合序列同构（在链复形的意义下）于

${\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0}$ 

其中的箭头是直和的典范映射。

对于群的范畴，前两个条件不一定蕴含第三个，它们只能保证${\displaystyle A}$ 可以表为${\displaystyle A'}$ 与${\displaystyle A''}$ 的半直积；例如我们可考虑群同态

${\displaystyle 1\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0}$ 

其中${\displaystyle S_{3}}$ 是3次对称群。${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \rightarrow S_{3}}$ 由${\displaystyle n\;\mathrm {mod} \;3\longmapsto (123)^{n}}$ 给出，它的像是交代群${\displaystyle A_{3}}$ ，商为${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ；但${\displaystyle S_{3}}$ 无法分解成${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ 。

将正合序列拆解为短正合序列

正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow A_{n-1}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow A_{n+1}\longrightarrow \cdots }$ 

设

${\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {Im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {Coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})}$ 

其中${\displaystyle 2\leq n\leq 4}$ ，这就给出了一个短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0}$ 

一般而言，设${\displaystyle A_{\bullet }}$ 为链复形，我们同样定义${\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})}$ ；此时链复形的正合性等价于所有短链${\displaystyle 0\rightarrow Z_{n}\rightarrow A_{n}\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0}$ 的正合性。

推广

给定一个短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0}$ 

有时也称${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle A''}$ 经由${\displaystyle A'}$ 的扩张。

详阅条目Ext函子与群上同调。

若有链复形的短正合序列：

${\displaystyle 0\longrightarrow C'_{\bullet }\longrightarrow C_{\bullet }\longrightarrow C''_{\bullet }\longrightarrow 0}$ 

反复运用蛇引理，可以导出正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C'_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n-1}(C'_{\bullet })\longrightarrow \cdots }$ 

对上链复形的上同调亦同，此时连接同态的方向是${\displaystyle H^{n}(C''^{\bullet })\to H^{n+1}(C'^{\bullet })}$ 。这类序列称作长正合序列，它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中，长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。

• 正合函子
• 链复形