分裂引理

首先证明 (3)蕴含 (1)与 (2)。我们假设 (3)成立，取t 为直和到A 的自然投影，取u 为C 到直和的自然内射。

为了证明 (1)蕴含 (3)，首先注意到B 中任何元素属于集合 (ker t + im q)。这是因为对B 中任意b，b = (b - qt（b）) + qt（b）；qt（b）显然属于im q，而 (b - qt（b）)属于ker t，因为

t（b - qt（b））= t（b）- tqt（b）= t（b）- (tq)t（b）= t（b）- t（b）= 0.

然后，im q 与ker t 的交集为{0}，因若存在a 属于A 使得q（a）= b 以及t（b）= 0，则0 = tq（a）= a；从而b = 0。

这就证明了B 是im q 与ker t 的直和。故对所有b 属于B，b 可以惟一地等同于某个a 属于A，k 属于ker t，使得b = q（a）+ k。

由正合性，ker rq = A，故ker r = im q。子序列B → C → 0蕴涵着r 是映上的；从而对任意c 属于C 存在某个b = q（a）+ k 使得c = r（b）= r(q（a）+ k) = r（k）。故对任意c 属于C，存在k 属于ker t 使得c = r（k），以及r（ker t）= C。

如果r（k）= 0，则k 属于im q；因im q 与ker t 的交集 = {0}，则k = 0。从而同态r : ker t → C 的限制是一个同构；且ker t 同构于C。

最后im q 同构于A，因为0 → A → B 的正合性；故B 同构于A 与C 的直和，这就证明了 (3)。

类似地可证明 (2)蕴含 (3)。B 中任何元素属于集合ker r + im u；因为对所有b 属于B，b = (b - ur（b）) + ur（b），这属于in ker r + im u。ker r 与im u 的交集是{0}，因若r（b）= 0以及u（c）= b，则0 = ru（c）= c。

由正合性，im q = ker r，以及q 是一个内射，im q 同构于A，故A 同构于ker r。由于ru 是一个双射，u 是一个内射，故im u 同构于C。所以B 是A 与C 的直和。

这里所述的形式，分裂引理在全群范畴中不成立，它不是一个阿贝尔范畴。

部分真

它是部分真的：如果一个群短正合序列是左分裂或是直和（条件1或3），则所有条件成立。对直和这是清楚的，因为直和给出的内射与投影。对一个左分裂序列，映射${\displaystyle r\times t\colon B\to A\times C}$ 给出一个同构，故B 是一个直和（条件3），从而取此同构之逆并与自然内射${\displaystyle C\to A\times C}$ 复合给出一个分裂t 的内射${\displaystyle C\to B}$ （条件2）。

但是如果一个短正合序列是右分裂的（条件2），则未必是左正合的或是直和（条件1或条件3均未必成立）：问题是右分裂的像不必是正规的。在此情形B 是一个半直积，一般不是一个直积。

反例

为了构造一个反例，取最小非阿贝尔群${\displaystyle B\cong S_{3}}$ ，三个字母的对称群。设A 为交错子群，令${\displaystyle C=B/A\cong \{\pm 1\}}$ 。令q 与r 分别表示包含映射与符号映射，从而

${\displaystyle 0\rightarrow A{\stackrel {q}{\longrightarrow }}B{\stackrel {r}{\longrightarrow }}C\rightarrow 0}$ ，

是一个短正合序列。条件 (3)不成立，因为${\displaystyle S_{3}}$ 不是阿贝尔群。但条件 (2)成立：我们通过将生成元映到任意二阶循环定义u: C → B。注意条件 (1)不成立：任何映射t: B → A 必然将任何二阶循环映为单位，由拉格朗日定理。但每个置换是两个循环之乘积，故t 是平凡映射，从而tq: A → A 是平凡映射，而不是恒等。

• 第一同构定理
• 秩-零化度定理
• 半直积