群上同调

同调代数中,群上同调是一套研究及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑,在代数数论上也有重要应用;它是现代类域论的基本构件之一。

起源

群论中的指导思想之一,是研究群   及其表示的关系。群   的表示是  -模的特例:一个  -模是一个阿贝尔群   配上    上的群作用  。等价的说法是: 群环   上的模。通常将   的作用写成乘法  。全体  -模自然地构成一个阿贝尔范畴

对给定的  -模  ,最重要的子群之一是其  -不变子群

 

  是一个  -子模(即:是   的子群,且在   的作用下不变),则   上赋有自然的  -模结构, ,但是未必有  。第一个群上同调群   可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言,可以定义一族函子  ,其间关系可以由长正合序列表示。

形式建构

以下假设  有限群,全体  -模构成阿贝尔范畴,其间的态射   定义为满足   的群同态  。由于此范畴等价于  -模范畴,故有充足的内射对象

函子   是从  -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义   为其导函子。根据导函子的一般理论,可知:

  •  
  • 长正合序列:若   -模的短正合序列,则导出相应的长正合序列
 

在上述定义中,若固定一个域  ,并以   代替  ,得到的上同调群依然同构。

标准分解

导出函子的定义来自内射分解,不便于具体计算。然而注意到  ,其中   被赋予平凡的   作用: ,故群上同调可以用Ext函子表达为

 

另一方面, -模范畴中也有充足的射影对象,若取一   的射影分解  ,则有自然的同构  。最自然的分解是标准分解

 
 
 

   给出。

定义  ,其元素为形如   的函数,并满足  ,称之为齐次上链。根据    上的作用,这种   由它在形如   的元素上的取值确定。借此,可将上链复形   描述为

  •   的元素为   之函数。
  •  

其中的元素称为非齐次上链

综上所述,得到  

例子

较常用的上同调是   。从标准分解可导出以下的描述:

 

准此要领,亦有

 

群同调

上述理论有一对偶版本:对于任一  -模  ,定义   为形如   的元素生成之子模。考虑从  -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

 

这是一个右正合函子,其导出函子称为为群同调  。群同调可以藉Tor函子描述为

 

对于有限群,群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

非阿贝尔群上同调

将上述定义中的  -模   改成一般的群  (未必交换),并带有   的作用  (称之为  -群)。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调:

 
 

须留意   并不是群,而是带有一个指定元素的集合(来自   的单位元),以下所谓的正合性,都应该在此意义下理解。

  -群的短正合序列,则有长正合序列

 

 落在   的中心,此序列右端可再加一项  

性质

Res 与 Cor

  为群同态,则可将任一  -模透过   视为  -模,此运算导出上同调之间的映射

 

此映射与群上同调的长正合序列相容。当    的子群而   是包含映射,导出的映射称为限制映射,记为 Res。

由于我们假设   为有限群,必有  ,此时映射

 

导出一个上限制映射  

定理.  

中心扩张

  是平凡的   模(即  ),则   中的元素一一对应于   中心扩张的等价类

 

中心扩张意谓: 群扩张,而且   落在   的中心内。

具体描述方法是:任取一映射    不一定是群同态,但存在函数   使得     刻划了   的群结构。不难验证   满足  ,而   的选取对应于  ,所以   仅决定于唯一的一个中心扩张。反之,任一   都来自于某个中心扩张,证毕。

谱序列

  正规子群,则有下述谱序列

 

对于射影有限群,此式依然成立。

参考文献

  • Hopf, Heinz, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv., 1942, 14: 257––309, MR6510, (原始内容存档于2011-05-24) 
  • Milne, James, Class Field Theory, 2007 [2007-11-18], (原始内容存档于2012-04-02) , Chapter II
  • Rotman, Joseph, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8, MR1307623 
  • Serre, Jean-Pierre, Corps locaux, Paris: Hermann, 1968, ISBN 2-7056-1296-3 , Chapitre VII
  • Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5 Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58002-7, MR1324577 
  • Shatz, Stephen S., Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1972, ISBN 978-0-691-08017-8, MR0347778