群扩张

在抽象代数中，设 $Q$ 为群，若存在群 $G,N$ ，及群的正合序列

1\to N{\stackrel {i}{\to }}G{\stackrel {p}{\to }}Q\to 1

（换言之， $i$ 是单射、 $p$ 是满射，且 $\mathrm {Ker} (p)=\mathrm {Im} (i)$ ；是故可视 $N$ 为 $G$ 的正规子群， $G/N\simeq Q$ 。）则称群 $G$ 为 $Q$ 的群扩张，或称 $Q$ 对 $N$ 的扩张。

由短正合序列的同构关系，可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于

1\to N\to N\times Q\to Q\to 1

则称此扩张为平凡扩张。当 $N$ 落在 $G$ 的中心时，称之为中心扩张。

分类

一般的群扩张不易分类。若限定 $G$ 为阿贝尔群，则 $Q$ 对 $N$ 的扩张等价类一一对应于 $\mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)$ （参见条目 Ext函子）。

另一方面，若在群扩张 $0\to A\to E\to G\to 1$ 中， $A$ 为阿贝尔群，可任取一截面 $s:G\to E$ （s 不一定是群同态），群 $G$ 以共轭方式 $a\mapsto s(g)as(g)^{-1}$ 在 $A$ 上作用。这类扩张的等价类由群上同调 $H^{2}(G,A)$ 分类，并具有自然的群结构。最常见的例子是中心扩张。

李代数的扩张

利用同样作法，也可以定义李代数的扩张。此即李代数的正合序列

0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {g}}\to 0

若 $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {e}}]=0$ ，称之为中心扩张。

参考资料

V.E. Govorov, Extension of a group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4