同调

其过程如下：给定对象${\displaystyle X}$ ，首先定义链复形，它包含了${\displaystyle X}$ 的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$ 的序列，群同态${\displaystyle d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}}$ 满足任何两个相连的同态的复合为0: ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$ 对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为商群（商模）

${\displaystyle H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).}$ 

链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此${\displaystyle X}$ 的同调群是${\displaystyle X}$ 所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$ 

其中第k个同调群${\displaystyle H_{k}(X)}$ 描绘了X中的k维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔，因此${\displaystyle H_{0}(X)}$ 描绘了X中的路径连通分支。^[1]

一维球面 ${\displaystyle S^{1}}$ 是一个圆。它有单个连通分支和一个一维洞，但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出

${\displaystyle H_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&k\neq 0,1\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 为整数群，${\displaystyle \{0\}}$ 为平凡群。群${\displaystyle H_{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$ 表示一个有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。^[2]

二维球面${\displaystyle S^{2}}$ 拥有1个连通分支，0个一维洞，1个二维洞，无更高维的洞。其对应的同调群为^[2]

${\displaystyle H_{k}(S^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&k\neq 0,2\end{cases}}}$ 

一般地，对n维球面Sⁿ，其同调群为

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}}$ 

二维球B²是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支，但与圆不同的是，它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了${\displaystyle H_{0}(B^{2})=\mathbb {Z} }$ 以外均为平凡群。

环面被定义为两个圆${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ 的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支，两个独立的一维洞（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维洞（环面的内部）。其对应的同调群为^[3]

${\displaystyle H_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&k>=3\end{cases}}}$ 

两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ .

导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形${\displaystyle X}$ 的单纯同调。${\displaystyle A_{n}}$ 在这里就是${\displaystyle X}$ 中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

${\displaystyle (a[0],a[1],\dots ,a[n])}$ 

映射为如下的和

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n]).}$ 

如果我们将模取在一个域上，则${\displaystyle X}$ 的n阶同调的维数就是${\displaystyle X}$ 中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间${\displaystyle X}$ 的奇异同调。我们定义${\displaystyle X}$ 的上同调的链复形中的空间为${\displaystyle A_{n}}$ 为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到${\displaystyle X}$ 的连续函数。同态${\displaystyle d_{n}}$ 从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子${\displaystyle F}$ 和某个模${\displaystyle X}$ 开始。${\displaystyle X}$ 的链复形定义如下：首先找到一个自由模${\displaystyle F_{1}}$ 和一个满同态${\displaystyle p_{1}:F_{1}\rightarrow X}$ 。然后找到一个自由模${\displaystyle F_{2}}$ 和一个满同态${\displaystyle p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})}$ 。以该方式继续，得到一个自由模${\displaystyle F_{n}}$ 和同态${\displaystyle p_{n}}$ 的序列。将函子${\displaystyle F}$ 应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调${\displaystyle H_{n}}$ 仅依赖于${\displaystyle F}$ 和${\displaystyle X}$ ，并且按定义就是${\displaystyle F}$ 作用于${\displaystyle X}$ 的n阶导出函子。

链复形构成一个范畴：从链复形${\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}$ 到链复形${\displaystyle (e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})}$ 的态射是一个同态的序列${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ，满足${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}}$ 对于所有n成立。n阶同调 ${\displaystyle H_{n}}$ 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象${\displaystyle X}$ （也就是任何态射${\displaystyle X\rightarrow Y}$ 诱导出一个从${\displaystyle X}$ 的链复形到${\displaystyle Y}$ 的链复形的态射），则${\displaystyle H_{n}}$ 是从${\displaystyle X}$ 所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于${\displaystyle X}$ ，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为${\displaystyle H^{n}}$ ）构成从${\displaystyle X}$ 所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

若${\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}$ 是链复形，满足出有限个${\displaystyle A_{n}}$ 外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$ 

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$ 

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象${\displaystyle X}$ 的重要的不变量${\displaystyle \chi }$ .

每个链复形的短正合序列

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$ 

导致一个同调群的长正合序列

${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,}$ 

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射${\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)}$ 之外。后者称为连接同态，有蛇引理给出。

• 奇异同调
• 上同调
• 同调论
• 同调代数

• Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）.  有仔细讨论单复形、流形的同调论、奇异同调等。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398. 
• Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.