导出函子

考虑导出函子的原始目的是从一个短正合序列造出一个长正合序列。具体言之：给定两个阿贝尔范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$ ，及其间的加法函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ 。假设 ${\displaystyle F}$  为左正合函子，换言之，对 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  中的任一短正合序列

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ 

下列序列是正合的：

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$ 

由此自然导出一个问题：如何自然地延长此正合序列？${\displaystyle F}$  的（右）导出函子是一族函子 ${\displaystyle R^{i}F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ，满足 ${\displaystyle R^{0}F=F}$ ，且有相应的长正合序列：

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots }$ 

导出函子可以视为 ${\displaystyle F}$  的右正合性的尺度。

右导出函子

今假设 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  中有充足的内射元。设 ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$ ，根据假设，存在内射分解：

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$ 

取函子 ${\displaystyle F}$ ，得到上链复形：

${\displaystyle 0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$ 

定义 ${\displaystyle R^{i}F(X)}$  为其第 ${\displaystyle i}$  个上同调群，特别是有 ${\displaystyle R^{0}F(X)=F(X)}$ 。注意到两点：

• 由于任两个内射分解彼此同伦等价，函子 ${\displaystyle R^{i}F}$  在同构的意义下是明确定义的。
• 若 ${\displaystyle X}$  是内射对象，取平凡分解 ${\displaystyle 0\to X\to X\to 0}$ ，可知当 ${\displaystyle i>0}$  时有 ${\displaystyle R^{i}F(X)=0}$ 。

左导出函子

左导出函子的建构与右导出函子对偶。设 ${\displaystyle G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$  为右正合加法函子，并假设 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  有充足的射影元。对任一对象 ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$ ，取一射影分解：

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$ 

取函子 ${\displaystyle G}$ ，得到链复形：

${\displaystyle \cdots \to G(P_{2})\to G(P_{1})\to G(P_{0})\to 0}$ 

定义 ${\displaystyle L^{i}G(X)}$  为其第 ${\displaystyle i}$  个同调群，其性质类似右导出函子。

逆变函子的情形

对于逆变函子也能定义导出函子，此时的导出函子也是逆变函子。较有系统的方法是利用反范畴的概念。

对于右导出函子的情形，任一短正合序列 ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$  给出长正合序列

${\displaystyle \cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots }$ 

对于左导出函子，相应的长正合序列形如

${\displaystyle \cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots }$ 

此外，这些长正合序列在下述意义下是“自然”的：

• 短正合列之间的态射导出长正合序列间的态射。
• 函子间的自然变换导出长正合序列尖的态射。

这些性质是蛇引理的推论。

• 层上同调：对拓扑空间 ${\displaystyle X}$ ，考虑其上的阿贝尔群层构成的范畴，它有充足的内射元。整体截面函子 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})}$  是左正合函子，相应的右导出函子即层上同调函子 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ 。
• 平展上同调：平展上同调用于概形上的另一种上同调理论。
• Ext函子：设 ${\displaystyle R}$  为环，考虑 ${\displaystyle R}$ -模范畴，它有充足的内射元及射影元。对任一 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle A}$ ，函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,-)}$  为左正合的，其右导出函子记为 ${\displaystyle B\mapsto \mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ 。
• Tor函子：同样考虑 ${\displaystyle R}$ -模范畴，对任一 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle B}$ ，函子 ${\displaystyle -\otimes _{R}B}$  为右正合的，其左导出函子记为 ${\displaystyle A\mapsto \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ 。
• 群上同调：设 ${\displaystyle G}$  为群。所谓 ${\displaystyle G}$ -模是指被 ${\displaystyle G}$  作用的阿贝尔群，${\displaystyle G}${\displaystyle G}  -模范畴可以理解为 ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$ -模范畴。对任一 ${\displaystyle G}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，定义 ${\displaystyle M^{G}:=\{m\in M:\forall g\in G,\;g\cdot m=m\}}$ ，这是一个左正合函子，其右导出函子即群上同调函子 ${\displaystyle M\mapsto H^{i}(G,M)}$ 。

现代的导范畴理论为导出函子提供了一套较广的框架。

• Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1