子范畴

数学中,一个范畴C子范畴是一个范畴S,其物件为C内的物件,态射为C内的态射,且有相同的单位态射与态射复合。直观上来看,C的子范畴是一个从C中“移去”部分物件和态射的范畴。

形式定义

C为一范畴。C子范畴S给定于

  • C中物件的子类,标记为ob(S),
  • C中态射的子类,标记为hom(S)。使得
  • 对每个在ob(S)内的X而言,单位态射idX会在hom(S)内。
  • 对每个在hom(S)内的态射f : XY而言,源物件X和目标物件Y都会在ob(S)内。
  • 对每对在hom(S)内的态射fg而言,复合f o g会如其定义地在hom(S)内。

上述条件确定S本身也会是个范畴。其中存在一自然函子I : SC,称之为包含函子,单纯为物件和态射的恒等函数。

一个范畴C完全子范畴(full subcategory)是一个C的子范畴S,而这子范畴使得每对在S内的物件XY

 

一个完全子范畴是一个包括著在S的物件间“所有”态射的范畴。对任一堆在C内的物件A,必存在唯一一个C的全子范畴,其物件为A内的所有物件。

内嵌

给定一个C的子范畴S,其包含函子I : SC在物件上是忠实且单射的。此函子为完全的当且仅当S为一完全子范畴。

一个函子F : BC被称之为是一个内嵌若其为

  • 一个忠实函子,且
  • 在物件上是单射的。等价地说,F是一个内嵌若其在态射上为单射。一个函子F被称之为完全内嵌,则是若其为一完全函子,且为一内嵌。

对任一(完全)内嵌F : BC而言,F的值域是C的一个(完全)子范畴S,且F可导出一个由BS间的范畴同构

子范畴类型

一个C的子范畴S被称之为同构封闭的,若每一个在C内的同构k : XYYS内)也会属于S。一个同构封闭完全子范畴被称之为是严格完全的。

一个C的子范畴是的,若其包括所有C的物件。一个宽子范畴基本上不会是完全的:一个范畴唯一的完全宽子范畴即是此一范畴本身。

一个塞尔子范畴是指一个阿贝尔范畴C的一非空完全子范畴S,其中对所有在C内的所有短正合序列

 

M会属于S,当且仅当  也属于S

参考资料


另见

  • 反射子范畴