克鲁尔维数

设交换环 ${\displaystyle R}$  中有 ${\displaystyle n+1}$  个素理想 ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$ ，使得

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$ 

则称之为长度为 ${\displaystyle n}$  的素理想链，一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。${\displaystyle R}$  的克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度，这也等于是 ${\displaystyle R}$  中素理想的最大可能高度。

根据定义， ${\displaystyle R}$  的维数与对素理想的局部化有下述关系

${\displaystyle \dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}}$ 

其中 ${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$  表 ${\displaystyle R}$  的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 。当 ${\displaystyle R}$  为链环时，对各极大理想的局部化皆有相同维数；代数几何处理的交换环通常都是链环。

例如在环 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]}$  中可考虑以下的素理想链

${\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}$ 

因此 ${\displaystyle \dim(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]\geq 3}$ ；事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质：

• 零维的整环是域。
• 离散赋值环与戴德金整环是一维的。
• 若 ${\displaystyle \dim R=k}$ ，则 ${\displaystyle k+1\leq \dim R[X]\leq 2k+1}$ ；当 ${\displaystyle R}$  为诺特环时则 ${\displaystyle \dim R[X]=k+1}$ 。
• 若 ${\displaystyle k}$  为域，则 ${\displaystyle \dim k[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$ 。
• 若 ${\displaystyle B}$  为 ${\displaystyle A}$ -代数，同时又是有限生成的 ${\displaystyle A}$ -模，则 ${\displaystyle \dim B=\dim A}$ 。

在代数几何中，一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界；对于仿射概形 ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} A}$ ，则回归到 ${\displaystyle \dim X=\dim A}$ 。

设 ${\displaystyle k}$  为域，${\displaystyle R}$  是有限型 ${\displaystyle k}$ -整代数，这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理，存在非负整数 ${\displaystyle d}${\displaystyle d}   及 ${\displaystyle R}$  中彼此代数独立的元素 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$  ，使得 ${\displaystyle R}$  是有限生成之 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$ -模，因此 ${\displaystyle \dim R=d}$ 。从几何观点看，${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$  此时是 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$  的有限分歧覆盖，因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观：

1. ${\displaystyle \dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d}$ 
2. 若 ${\displaystyle X\rightarrow Y}$  是分歧覆盖，则 ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$ 。

特别是当 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$  时，代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9