整环

设${\displaystyle \left({\mathcal {R}},+,\times \right)}$ 是一个交换环，存在${\displaystyle e\in {\mathcal {R}}}$ ，${\displaystyle e\neq 0}$ （0为加法单位元），使得

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {R}},a\times e=e\times a=a,}$ （存在乘法单位元）

并且对任意的${\displaystyle a,b\in {\mathcal {R}}}$ ，如果${\displaystyle a\times b=0}$ ，那么或者${\displaystyle a=0}$ ，或者${\displaystyle b=0}$ 。用数学方式表示为：

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathcal {R}}^{2},\ a\times b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0\;\;\lor \;\;b=0).}$ （没有零因子）

就称其为整环^[1]:19。

定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去律替代：如果${\displaystyle a\times c=b\times c}$ ，并且${\displaystyle c\neq 0}$ ，那么${\displaystyle a=b}$ ^[2]:119。用数学方法表示就是：

${\displaystyle \forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.}$ 

• 整环的代表性例子是整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\times )}$ 是一个交换环，并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后，两个整数相乘等于0，则必然有其中一个等于0。
• 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ 和实系数二元多项式环${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]}$ 。
• 每个域都是整环^[2]:122。相对的，每个阿廷整环都是域。特别地，每个有限的整环都是有限域。整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 就是一个非阿廷整环不是域的例子，因为它有无穷递降的理想列：

${\displaystyle \mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots }$ 

• 对每个整数${\displaystyle n>0}$ ，${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {n}}\mathbb {Z} }$ 是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子环，因此是整环。${\displaystyle \mathbb {Z} +i{\sqrt {n}}\mathbb {Z} }$ 是复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的子环，因此是整环。当${\displaystyle n=1}$ 时，后者被称为高斯整数环。
• 若${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是一个交换环，${\displaystyle P}$ 是${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 的一个理想，那么商环${\displaystyle ^{\mathcal {R}}/_{P}}$ 是整环当且仅当P是素理想。由此可推出${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是整环当且仅当${\displaystyle \{0\}=^{\mathcal {R}}/_{\mathcal {R}}}$ 是素理想。

在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。

a与b是R中的两个元素，定义a整除b或a是b的约数或b是a的倍数，当且仅当存在R中的一个元素x使得ax = b。

整除关系满足传递性，即a整除b，b整除c推出a整除c。a整除b，则a整除b的所有倍数。a的两个倍数的和与差仍是a的倍数。

1的约数称为R的可逆元。可逆元整除所有元素。

若a整除b并且b整除a，则称a与b相伴。a与b相伴当且仅当存在可逆元u使得au = b。

非可逆元q称为既约元，如果q不能写成两个非可逆元的乘积。

如果p不是零元或可逆元，且对任意a，b，如果p整除ab可推出p整除a或p整除b，则称p为素元。

这两个定义是整数环中素数的推广。如果p是素元，那么p生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当R是唯一分解环才正确。