局部环

设 ${\displaystyle R}$  为交换含幺环。若 ${\displaystyle R}$  仅有一个极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ，则称 ${\displaystyle R}$ （或 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ ）为局部环。域 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$  称为 ${\displaystyle R}$  的剩余域。

若 ${\displaystyle R}$  中仅有有限个极大理想，则称之为半局部环。

一个局部环 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$  上带有一个自然的 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ -进拓扑，使得 ${\displaystyle R}$  成为拓扑环；其开集由 ${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}^{i}:i\geq 0\}}$  生成。当 ${\displaystyle R}$  为诺特环时，可证明 ${\displaystyle R}$  为豪斯多夫空间，且所有理想皆是闭理想。

设 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})}$  为局部环，环同态 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$  被称为局部同态，当且仅当 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\phi ^{-1}({\mathfrak {n}})}$ 。

• 域是局部环。
• 形式幂级数环 ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$  是局部环，其中 ${\displaystyle k}$  是个域。极大理想是 ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ 。
• 取系数在${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上，原点附近收敛半径为正的幂级数，它构成一个局部环，极大理想表法同上。
• 凡赋值环皆为局部环。
• 设 ${\displaystyle R}$  为任意交换环， ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  为素理想，则相应的局部化 ${\displaystyle (R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})}$  是局部环；这也是局部环应用的主要场合。若 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}$  已是局部环，则 ${\displaystyle R{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}R_{\mathfrak {p}}}$ 。
• 局部环的商环仍是局部环。

局部环意在描述一个点附近的函数“芽”。设 ${\displaystyle X}$  为拓扑空间，${\displaystyle F:=\mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ，且${\displaystyle x\in X}$ 。考虑所有资料 ${\displaystyle (f,U)}$ ，其中 ${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle x}$  的一个开邻域，而 ${\displaystyle f:U\rightarrow F}$  是连续函数。引入等价关系：

${\displaystyle (f,U)\sim (g,V)\iff \exists W\subset U\cap V,\;f|_{W}=g|_{W}}$  且 ${\displaystyle W}$  是 ${\displaystyle x}$  的开邻域。

换言之，若两个函数在 ${\displaystyle x}$  附近一致，则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ，其元素称作在 ${\displaystyle x}$  的连续函数芽，它体现了连续函数在 ${\displaystyle x}$  附近的行为。若 ${\displaystyle s\in \Gamma _{x}}$  满足 ${\displaystyle s(x)\neq 0}$  ，则存在一个 ${\displaystyle x}$  的开邻域 ${\displaystyle U}$  及连续函数 ${\displaystyle f:U\rightarrow F}$ ，使得 ${\displaystyle [f,U]=s}$  且 ${\displaystyle f}$  恒非零，因此可定义乘法逆元 ${\displaystyle 1/s:=[1/f,U]}$ 。于是 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$  是局部环，其唯一的极大理想是所有在 ${\displaystyle x}$  点取零的函数，剩余域则是 ${\displaystyle F}$ 。

类似想法可施于微分流形、解析流形或复流形，稍作修改后亦可推广至代数簇与概形。

在代数几何与复几何中，假设适当的有限性条件（例如凝聚性）， 若一陈述对某一点的芽成立，则在该点的某个开邻域上皆成立；就此而论，局部环集中表现了一点附近的局部性质。

在交换代数中，局部化的技术往往可将问题化约到局部环上；因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。

一个含么环 ${\displaystyle R}$  被称作局部环，当且仅当它满足下述等价条件：

• R 仅有一个极大左理想。
• R 仅有一个极大右理想。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$ ，且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$ ，且对任何元素 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$  或 ${\displaystyle 1-x}$  必有一者可逆。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$ ，若 ${\displaystyle R}$  中某个有限和是可逆元，则其中某项必可逆。

当上述任一性质成立，则下述三者等同：

• R 的唯一极大左理想
• R 的唯一极大右理想
• R 的 Jacobson根

对于交换环，上述定义化为交换局部环的原始定义。

• V.I. Danilov, Local ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9