凝聚层

一个凝聚层是赋环空间${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 上的一个${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ，满足下述性质：

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 上是有限型的，即：对任一点${\displaystyle x\in X}$ ，存在其邻域${\displaystyle U\subset X}$ 使得 ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$  可由有限多个截面生成（换言之，存在正合序列${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$ ）。
2. 对任意开集 ${\displaystyle U\subset X}$ ，任意 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 及任意${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模的态射${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ，其核是有限型的。

环层${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 是凝聚层当且仅当它自身作为一个${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模是个凝聚层。

凝聚层必定是有限展示的：即对任一点${\displaystyle x\in X}$ 都存在其开邻域${\displaystyle U}$ 、正整数${\displaystyle m,n}$ 以及一个正合序列：

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$ 

反之则不然，除非要求${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 是凝聚环层。

拟凝聚层的定义更弱：我们仅要求对任一点${\displaystyle x\in X}$ 都存在开邻域${\displaystyle U}$ ，索引集${\displaystyle I,J}$ （可能是无限集）及一个正合序列： ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$ 

对一个仿射簇${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (R)}$ ，${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})}$ 给出从拟凝聚层到 ${\displaystyle R}$ -模的范畴等价；若${\displaystyle R}$ 是诺特环，则凝聚层恰对应至有限生成的${\displaystyle R}$ -模。

凝聚层的概念较局部自由层（换言之，向量丛的截面层）广，但仍然很容易操作，这在考虑核与上核时特别有利，因为局部自由层在这些操作下并不封闭。形式地说：给定一个短正合序列，只要其中任两个层是凝聚层，则令一个也必然是凝聚层；在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模的范畴里，凝聚层是满足上述条件并包含${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 的最小满范畴。因此就同调代数的观点看，凝聚层是最自然的范畴之一。

• 诺特概形的结构层
• 向量丛的截面层
• 理想层：若${\displaystyle X}$ 是复解析空间而${\displaystyle Z}$ 是其闭子空间，令${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z}}$ 表所有在${\displaystyle Z}$ 上消没的全纯函数，称作${\displaystyle Z}$ 在${\displaystyle X}$ 里的理想层，则${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z}}$ 是凝聚层。对诺特概形及其闭子概形亦同。
• 闭子空间的结构层
• 复流形${\displaystyle X}$ 上的微分算子环${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}}$ ，这是个非交换的环层。

凝聚层的层上同调理论称作凝聚上同调，这是层论最大也最有效的应用之一，其结果可用以诠释古典的代数几何及复流形理论，其证明却更简洁明快。

基于 Schwartz 先前的工作，昂利·嘉当与让-皮埃尔·塞尔证明了紧复流形上的凝聚上同调是有限维的，小平邦彦先前曾证明了向量丛的情形。当时这套理论的用处还不甚明朗。塞尔证明了这个定理的代数版本。亚历山大·格罗滕迪克证明了一个代数框架下的相对版本，解析版本则由 Grauert 与 Remmert 证出。举例明之：格罗滕迪克的结果是考虑函子${\displaystyle R^{\cdot }{f}_{\ast }}${\displaystyle R^{\cdot }f_{*}}  （这是层的正像函子的右导函子）； 若${\displaystyle f}$ 是概形间的真态射，则此函子保持凝聚性。取${\displaystyle f}$ 为一个${\displaystyle k-}$ 射影概形到${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$ 的态射，便得到塞尔先前的结果。

• Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
  Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
• Alexander Grothendieck|A. Grothendieck, Jean Dieudonné|J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
  Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2