有限域

数学中,有限域(英语:finite field)或伽罗瓦域(英语:Galois field,为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名)是包含有限个元素。与其他域一样,有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时,整数对 p 取模

有限域的元素个数称为它的

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础,包括数论代数几何伽罗瓦理论有限几何学密码学编码理论

定理

  • 有限域的阶(有限域中元素的个数)是一个素数
  • 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的 阶的有限域,并且所有元素都是方程   的根,该域的特征p
  • 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限域,则存在 使得 
  • 有限域是完美域,即它的任何代数扩张一定是可分扩张
  • 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张,并且对应的伽罗瓦群循环群

存在性与唯一性

q = pn 为素数幂, F 为多项式

 

于素数域 GF(p) 上的分裂域。换言之, F 是最低阶的有限域,使得 PF 内有 q 个互异的根(注意 P形式导数英语formal derivative  ,因此 P 无重根)。

利用二项式定理,可证恒等式

 

在特征为 p 的域上成立(中一新生之梦)。此恒等式说明 P 任两根之和或积仍为 P 的根。同时, P 的根的乘法逆元仍是根,因此 P 的根构成一个 q 阶的域。由 F 的最小性,可知此域即为 F

由于分裂域在同构意义下唯一, q 阶域也在同构意义下唯一(已证其为   的分裂域)。而且,若域 F 有一个阶为   的子域,则其元素恰为  q 个根,所以 F 不能包含另一个阶为 q 的子域。

E·H·摩尔于 1893 年证明了以下的分类定理,可作为本节的总结:[1]

有限域的阶为素数幂。对任意一个素数幂 q, 都存在 q 阶的域,并且任意两个 q 阶的域都同构。该些域中,任意的元素 x 都满足
 
且多项式 XqX 可分解成
 

由此可知,GF(pn) 有同构于 GF(pm) 的子域当且仅当 m 整除 n;该情况下,仅有唯一的子域与 GF(pm) 同构。多项式 XpmX 整除 XpnX 也是当且仅当 m 整除 n.

弗罗贝尼乌斯自同构和伽罗瓦理论

p 为素数, q = pn 为素数幂。

GF(q) 中,恒等式 (x + y)p = xp + yp 说明映射

 

GF(q)GF(p)-线性域自同构,其保持子域 GF(p) 的元素。该映射称为弗罗贝尼乌斯自同构,得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯

φkφk 次迭代,则

 

此前已证明 φn 为恒同映射。若 0 < k < n, 则自同构 φk 并非恒同映射,否则多项式

 

就有多于 pk 个根,矛盾。

此外 GF(q) 并无其他 GF(p)-自同构。换言之,GF(pn) 恰有 nGF(p)-自同构,其为

 

伽罗瓦理论观之, GF(pn)GF(p)伽罗瓦扩展,且其伽罗瓦群为循环群

弗罗贝尼乌斯映射为满射,因此任意一个有限域都是完美域英语perfect field

一些小型的有限域

F2:

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1

F3:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

F4: 考虑  方程的根不在F2中。记其中一根为A, 则 且另一根为  

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
· 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

参考文献

  1. ^ Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, E. H. Moore; et al (编), Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896 
  • 《近世代数》

参见