有限几何学

有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。

定义. 仿射平面是一个非空集 ${\displaystyle X}$ （其成员称为点）及一族 ${\displaystyle X}$  的子集 ${\displaystyle L}$ （其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 任两点包含于唯一的一条线。
2. 平行公设：给定线 ${\displaystyle \ell }$  及点 ${\displaystyle p\notin \ell }$ ，存在唯一的线 ${\displaystyle \ell '}$  使之包含 ${\displaystyle p}$  且 ${\displaystyle \ell \cap \ell '=\emptyset }$ 。
3. 存在四个点，其中任三点不共线。

最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。

最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有六条线。这可以设想为四面体的顶点与边。

一般而言，${\displaystyle n}$ 阶仿射平面有 ${\displaystyle n^{2}}$  个点与 ${\displaystyle n^{2}+n}$  条线；每条线含 ${\displaystyle n}$  点，每点落于 ${\displaystyle n+1}$  条线。

定义. 射影平面是一个非空集 ${\displaystyle X}$ （其成员称为点）及一族 ${\displaystyle X}$  的子集 ${\displaystyle L}$ （其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 任两点包含于唯一的一条线。
2. 任两条相异的线交于唯一一点。
3. 存在四个点，其中任三点不共线。

在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。

最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。

一般而言，${\displaystyle n}$  阶射影平面的点、线个数均为 ${\displaystyle n^{2}+n+1}$ ，每条线含 ${\displaystyle n+1}$  个点，每个点落于 ${\displaystyle n+1}$  条线。

对任意正整数 ${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle n}$  阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 ${\displaystyle n}$  是素数幂。

若一映射 ${\displaystyle f:X\to X}$  保存共线关系，则称之为 ${\displaystyle X}$  的对称（或自同构）。Fano 平面的对称群同构于 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {F} _{7})}$ ，有 ${\displaystyle 168}$  个元素。

• （英文）有限几何资源 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Chris Godsil, Finite Geometry，2004. 可自由下载。