中一新生之梦

1940年一篇有关模曲线的文章中，桑德斯·麦克兰恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，体的特征2“${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}}$ ”有可能破坏中一新生的代数观念。言论是可追溯的最早将“中一新生”与体的正数特征^[5]，自此大部分代数课本都提及这个惯常误解，其中1974年汤马士·亨嘉福（英语：Thomas W. Hungerford）的代数课本似乎是首次使用“Freshman's dream”一词^[6]。别名包括1998年庄·法黎课本中的“Freshman exponentiation”（中文可译“中一新生之幂”）^[7]；又鉴于${\displaystyle (x+y)^{n}}$ 可透过二项式定理计算，因而又被称为“小孩的二项式定理”（Child's binomial theorem）^[8]或“中学生的二项式定理”（Schoolboy binomial theorem）^[9]。

至于“Freshman's dream”一词则自19世纪起已在非数学范畴使用^[10][11]。

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$ ，但${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$ .
• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$ （即 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$  ）在大多数情况下都不等于${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$ 。例如：${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$ ，而${\displaystyle 3+4=7}$ 。

当 ${\displaystyle p}$  是质数，而 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  是在具有 ${\displaystyle p}$  特征的交换环上的代数，那么 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ 。此理论可透过研究二项式系数的质数因数而论证：

第 n 个二项式系数为 ${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}}$ 。

由于分子是 ${\displaystyle p}$  的阶乘，所以可以被 ${\displaystyle p}$  整除。不过当 ${\displaystyle 0<n<p}$  之时，${\displaystyle n!}$  和 ${\displaystyle (p-n)!}$  都少于 ${\displaystyle p}$ ，因而两者都不能被整除。但二项式系数必然是整数，因此第 n 个二项式系数可被 ${\displaystyle p}$  整除，交换环继而等于零。自此整条方程式只剩下第0个和第 p 个二项式系数，因此可证 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ 。结果也证明 p 次方制造了自同态，又称交换环的弗罗贝尼乌斯自同态^[8]。

在此方程中，${\displaystyle p}$  必须是质数才可成立。有一相类近的定理指出，当 ${\displaystyle p}$  是质数的话，在${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$ 多项式环中，${\displaystyle (x+1)^{p}\equiv x^{p}+1}$ 。此定理成为现代质数测试中的关键^[8]。

• 一年级生
• 素性测试
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 二年级之梦