模曲线

考虑上半平面 ${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\hbox{Im}}(z)>0\}}$ 。取 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  对模群 ${\displaystyle \Gamma :={\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$  的有限指数子群之商，所得到的未必是紧致空间。作完备化后便得到模曲线。可以证明模曲线必然是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的平滑代数曲线；从复分析角度来看，便是紧黎曼曲面。

对正整数 ${\displaystyle N}$ ，定义同余子群

${\displaystyle \Gamma (N):={\hbox{Ker}}({\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} ){\stackrel {{\hbox{mod }}N}{\longrightarrow }}{\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))}$ 。

相应的模曲线记为 ${\displaystyle X(N)}$ ，也称为古典模曲线。除了完备化添加的尖点外，其复值点一一对应于下述资料的同构等价类：

${\displaystyle (E,P)}$ ，${\displaystyle E}$  是复椭圆曲线、${\displaystyle P\in E(\mathbb {C} )}$  是 ${\displaystyle N}$ -挠点。

当 ${\displaystyle N\leq 2}$  时，${\displaystyle X(N)}$  的亏格等于零，否则其亏格则是

${\displaystyle g(X(N))=1+{\frac {N^{2}(N-6)}{24}}\prod _{p|N}(1-p^{-2})}$ 。

${\displaystyle \Gamma (N)}$  的模形式可理解为 ${\displaystyle X(N)}$  上某族线丛的截面。此时可以用几何方式研究赫克算子，因为它们由模曲线之间的对应给出。

• A.A. Panchishkin, A.N. Parshin, Modular curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4