志村簇

在数学中的代数几何与数论领域，志村簇是一类特殊的代数簇，可视之为模曲线在高维度的类推。粗略地说，志村簇乃是埃尔米特对称空间对某个代数群之同余子群的商；最简单的例子是上半平面对 的商。一维的志村簇有时也被称为志村曲线。

志村五郎在1960年代研究了上述商空间的紧化，其目的在推广复乘法理论及互逆律[1]；在此需要的基本结果是 Baily-Borel 定理（1966）[2]。此后，人们也发现志村簇是某类霍奇结构的模空间。

典范模型

按照定义，志村簇本身仅是一个复流形。志村五郎证明了每个志村簇都可以定义在一个唯一确定的数域   上，由此也可解释志村簇与数论问题的关联。这个结果是志村五郎陈述其互逆律的出发点。

在郎兰兹纲领中的角色

志村簇在郎兰兹纲领扮演重要地位。根据郎兰兹的猜想，对任一定义在数域   上的代数簇  ，其哈瑟-韦伊ζ函数将会来自一个自守表示。至今已知的结果全是   为志村簇的情形。

在这个方向上，一个指导性的结果是 Eichler-志村同余关系：此结果保证了模曲线的哈瑟-韦伊ζ函数可表成源自模形式的L函数之积，其中每个模型式的权都是二，并具有明确的表示式。事实上，志村五郎发展其理论的动机就是推广这个结果。

文献

  • James Arthur (Editor), David Ellwood (Editor), Robert Kottwitz (Editor) Harmonic Analysis, the Trace Formula, and Shimura Varieties （页面存档备份，存于互联网档案馆）: Proceedings of the Clay Mathematics Institute, 2003 Summer School, the Fields Institute, (Clay Mathematics Proceedings,) MR0654325
  • Deligne, Pierre Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques. Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, pp. 247--289, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. MR0546620
  • Deligne, Pierre Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123--165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. MR0498581
  • J. Milne, Shimura varieties and motives U. Jannsen (ed.) S. Kleiman (ed.) J.-P. Serre (ed.) , Motives , Proc. Symp. Pure Math. , 55: 2 , Amer. Math. Soc. (1994) pp. 447–523
  • J.S. Milne, Shimura variety, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • J. S. Milne Introduction to Shimura varieties （页面存档备份，存于互联网档案馆）, chapter 2 of the book edited by Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2003)
  • Shimura, Goro, The Collected Works of Goro Shimura (2003), five volumes

注记

  1. ^ 见其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions。
  2. ^ Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.

外部链接