模形式

一个模形式可视为从所有格${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ （即：${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中的离散加法子群，使得其商群紧致）的集合映至${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的函数${\displaystyle F}$ ，使之满足下述条件：

1. 若考虑形如${\displaystyle \Lambda :=\langle \alpha ,z\rangle }$ 之格，其中${\displaystyle \alpha }$ 为常数而${\displaystyle z}$ 为变数，则${\displaystyle F(\Lambda )}$ 是${\displaystyle z}$ 的全纯函数。
2. 存在常数${\displaystyle k}$ （通常取正整数），使得对任何${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ^{\times }}$ ，有${\displaystyle F(\alpha \Lambda )=\alpha ^{k}F(\Lambda )}$ 。常数k称为此模形式之权。
3. 对于最小非零元与原点距离大于一定值之格${\displaystyle \Lambda }$ ，${\displaystyle |F(\Lambda )|}$ 有上界。

当${\displaystyle k=0}$ ，条件二表明${\displaystyle F(\Lambda )}$ 仅决定于${\displaystyle \Lambda }$ 在相似变换下的等价类。这是重要的特例，但是权为零的模形式必为常数函数。若去掉条件三，并容许函数有极点，则存在非常数的例子，称作模函数。

这个状况可以与射影空间（英语：Projective space）${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ 作类比：对于射影空间，我们欲寻找向量空间${\displaystyle V}$ 上对座标的多项式函数${\displaystyle F}$ ，并满足${\displaystyle F(cv)=F(v)}$ ；不幸的是，这种函数必为常数。一种办法是容许有分母（即考虑有理函数），则满足条件的是分子、分母为同次数齐次多项式的有理函数。另一种办法则是修改条件${\displaystyle F(cv)=F(v)}$ 为${\displaystyle F(cv)=c^{k}F(v)}$ ，则满足此条件的函数为${\displaystyle k}$ 次齐次多项式，对每个固定的${\displaystyle k}$ ，这些函数构成有限维向量空间。借着考虑所有可能的${\displaystyle k}$ ，我们可以找出构造${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ 上的有理函数所需之分子与分母。

既然${\displaystyle k}$ 次齐次多项式在${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ 上并非真正的函数，该如何从几何上诠释？代数几何给出了一个答案：它们是${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ 上某个层${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ 的截面。模形式的情形也类似，但考虑的不是${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ，而是某个模空间。

每个格${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ 都决定一条复椭圆曲线${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ；两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量（英语：j-invariant）就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。

每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成${\displaystyle \Lambda =\langle 1,z\rangle \quad (\mathrm {Im} (z)>0)}$ 。对一模形式${\displaystyle F}$ ，置${\displaystyle f(z):=F(\langle 1,z\rangle )}$ 。模形式的第二个条件可改写成函数方程：对所有${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ 且${\displaystyle ad-bc=1}$ （即模群（英语：Modular group）${\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ 之定义），有

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ 

例如，取${\displaystyle a=d=0,b=-1,c=1}$ ：

${\displaystyle f(-1/z)=F(\langle 1,-1/z\rangle )=z^{k}F(\langle z,-1\rangle )=z^{k}F(\langle 1,z\rangle )=z^{k}f(z).}$ 

如果上述方程仅对${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ 内的某个有限指数子群${\displaystyle \Gamma '}$ 成立，则称${\displaystyle F}$ 为对${\displaystyle \Gamma '}$ 的模形式。最常见的例子是同余子群${\displaystyle \Gamma (N):=\{g\in \Gamma :g\equiv I\mod N\}}$ ，以下将详述。

令${\displaystyle N}$ 为正整数，相应的模群（英语：congruence subgroup）${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ 定义为

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$ 

令${\displaystyle k}$ 为正整数，权为${\displaystyle k}$ 的${\displaystyle N}$ 级（或级群为${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ ）模形式定义为一个上半平面上的全纯函数${\displaystyle f}$ ，对任何

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$ 

及任何属于上半平面的${\displaystyle z}$ ，有

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ 

而且${\displaystyle f}$ 在尖点全纯。所谓尖点，是${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{+i\infty \}}$ 在${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ 作用下的轨道。例如当${\displaystyle N=1}$ 时，${\displaystyle +i\infty }$ 代表了唯一的尖点。模形式在尖点${\displaystyle p}$ 全纯，意谓${\displaystyle z\rightarrow p}$ 时${\displaystyle f}$ 有界。当此尖点为${\displaystyle +i\infty }$ 时，这等价于${\displaystyle f}$ 有傅立叶展开式

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c(n)\exp(2\pi inz)=\sum _{n=0}^{\infty }c(n)x^{n}}$ 

其中${\displaystyle x=\exp(2\pi iz)}$ 。对于其它尖点，同样可藉座标变换得到傅立叶展开。

若对每个尖点都有${\displaystyle c(0)=0}$ ，则称之为尖点形式（德文：Spitzenform）。使得${\displaystyle c(n)\neq 0}$ 的最小${\displaystyle n}$ 称作${\displaystyle f}$ 在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式，以区分带极点的一般情形（如j-不变量）。

另一种的推广是考虑某类函数${\displaystyle j(a,b,c,d,z)}$ ，并将函数方程改写为

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=j(a,b,c,d,z)^{k}f(z)}$ 

上式所取的${\displaystyle j(a,b,c,d,z):=(cz+d)}$ 称为自守因子。若另取适当的${\displaystyle j}$ ，则在此框架下亦可探讨戴德金η函数，这是权等于1/2的模形式。例如：一个权等于${\displaystyle k}$ 、${\displaystyle N}$ 级、nebentypus为${\displaystyle \chi }$ （${\displaystyle \chi }$ 是模${\displaystyle N}$ 的一个狄利克雷特征）是定义于上半平面，并具下述性质的全纯函数：对任意

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$ 

及属于上半平面的${\displaystyle z}$ ，有函数方程

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)j(a,b,c,d,z)^{k}f(z)}$ 

此外，${\displaystyle f}$ 必须在尖点全纯。

艾森斯坦级数

模形式最简单的例子是艾森斯坦级数：对每个偶数${\displaystyle k>2}$ ，定义

${\displaystyle E_{k}(\Lambda ):=\sum _{\lambda \in \Lambda ,\lambda \neq 0}\lambda ^{-k}}$ 

（条件${\displaystyle k>2}$ 用于确立收敛性）

θ函数

所谓${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的偶单位模格${\displaystyle L}$ ，是指由一个行列式等于一的${\displaystyle n}$ 阶矩阵的行向量展成之格，并使得每个${\displaystyle L}$ 中的向量长度均为偶数。根据普瓦松求和公式，此时对应的Theta函数

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$ 

是权${\displaystyle =n/2}$ 的模形式。偶单位模格的构造并不容易，以下是方法之一：令${\displaystyle n}$ 为8的倍数，并考虑所有向量${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ，使得${\displaystyle 2v}$ 的座标均为奇数或均为偶数，且${\displaystyle v}$ 的各座标总和为奇数。由此构成的格写作${\displaystyle L_{n}}$ 。当${\displaystyle n=8}$ ，此格由根系${\displaystyle E_{8}}$ 的根生成。虽然${\displaystyle L_{8}\times L_{8}}$ 与${\displaystyle L_{1}6}$ 并不相似，由于权${\displaystyle =8}$ 的模形式只有一个（至多差一个常数倍），遂得到

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$ 

约翰·米尔诺发现：${\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}$ 对这两个格的商空间给出两个16维环面，彼此不相等距同构，但它们的拉普拉斯算子有相同的特征值（计入重数）。

戴德金η函数

戴德金η函数定义为

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.}$ 

模判别式${\displaystyle \Delta (z)=\eta (z)^{24}}$ 是权${\displaystyle =12}$ 的模形式。拉马努金有一个著名的猜想：在${\displaystyle \Delta (z)}$ 的傅立叶展开式中，对任一素数${\displaystyle p}$ ，${\displaystyle q^{p}}$ 的系数的绝对值恒${\displaystyle \leq 2p^{11/2}}$ 。此猜想最后由德利涅证明。

上述诸例点出了模形式与若干古典数论问题的联系，例如以二次型表示整数以及整数分拆问题。赫克算子（英语：Hecke operator）理论阐释了模形式与数论的关键联系，同时也联系了模形式与表示理论。

模函数的概念还能做一些推广。

例如，可以去掉全纯条件：马斯形式（英语：Maass cusp form）是上半平面的拉普拉斯算子的特征函数，但并非全纯函数。

此外，可以考虑${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ 以外的群。希尔伯特模形式是${\displaystyle n}$ 个变元的函数，每个变元都属于上半平面。其函数方程则由分布于某个全实域的二阶方阵来定义。若以较大的辛群取代${\displaystyle SL(2)}$ ，便得到西格尔模形式。模形式与椭圆曲线相关，而西格尔模形式则涉及更广义的阿贝尔簇（英语：Abelian variety）。

自守形式的概念可用于一般的李群。

• Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973.在其第七章提供了模形式理论的浅介
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971.提供较进阶的阐述
• Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975.就表示理论观点审视模形式
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. 互联网档案馆）