自守形式

设 ${\displaystyle \Gamma }$  为作用于复区域 ${\displaystyle D}$  的离散群。取定自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)}$  及权 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 。相应的权 ${\displaystyle m}$  自守形式是 ${\displaystyle D}$  上满足下述函数方程的全纯函数

${\displaystyle j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma }$ 。

自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x)}$  当 ${\displaystyle \gamma }$  固定时是 ${\displaystyle D}$  上的全纯函数，并且是 ${\displaystyle \Gamma }$  上的 1-闭上链。

定义中的复值函数 ${\displaystyle f}$  可推广成取值为矩阵的函数；权 ${\displaystyle m}$  的限制亦可放松，例如半整数 ${\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$ 。

自守形式另有群表示理论的诠释，并牵涉数论，但无法完全涵摄古典定义。为简单起见，以下设 ${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}$ ，其中心可等同于 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ 。

考虑整体域 ${\displaystyle F}$ （例如 ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ），由此定义 ${\displaystyle G}$  的阿代尔点 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ ，赋予相应的拓扑结构，并取定标准的紧子群 ${\displaystyle K}$ 。

固定一拟特征 ${\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ 。以 ${\displaystyle \omega }$ 为中心特征的自守形式定为 ${\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})}$  上满足下列条件的复值函数 ${\displaystyle f}$ ：

1. ${\displaystyle f}$  光滑：若 ${\displaystyle F}$  为函数域，这代表 ${\displaystyle f}$  是局部常数函数。否则意谓存在一组 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$  的开覆盖 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，对每个 ${\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}$ ，${\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}$ ，而 ${\displaystyle f_{U}}$  无穷可微。
2. 对任何${\displaystyle z\in \mathbb {A} _{F}}$  及任何 ${\displaystyle h}$ ，总有 ${\displaystyle f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)}$ 。
3. ${\displaystyle f}$  右 ${\displaystyle K}$ -有限：函数 ${\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)}$  张成有限维向量空间。
4. 承上，设 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$  为泛包络代数 ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))}$  之中心，则 ${\displaystyle f}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$ -有限。
5. 缓增性：固定适当的高度函数 ${\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}$ （取法不影响定义），存在常数 ${\displaystyle C}$  及 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$  使得 ${\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}$ 。

注记. 若 ${\displaystyle v}$  是 ${\displaystyle F}$  的阿基米德赋值，条件二中张出的空间在李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})}$  的作用 ${\displaystyle f\mapsto Xf}$  下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数。

若对所有 ${\displaystyle r+s=n\,(0<r,s<n)}$  皆有

${\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0}$ 

则称 ${\displaystyle f}$  为尖点形式。

定义 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  为中心特征为 ${\displaystyle \omega }$  的自守形式集，子空间 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  则为尖点形式集。

这两个空间是有限阿代尔群 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })}$  的表示；对阿基米德赋值则带有 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$ -模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$  的表示。注意：它们并非 ${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$  的表示！

一个自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$ -模 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  之子商，${\displaystyle \omega }$  称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  之子空间。