赋值

代数中,赋值是一个度量元素的(多少)或元素重复度的函数。推广到交换代数,就是对复分析极点零点重复度度量,推广到代数数论中的代数整数整性的度量,在代数几何中也有类似概念,一个域与它的赋值被称为赋值域

定义

一个 上取值在有序交换群Γ的赋值是从 到Γ的映射 ,满足下述性质:

  •  (即: 是群同态)
  •  

Γ称作 值群

两个赋值 被称作等价的,当且仅当存在有序交换群的同构 使得 

为了操作上的便利,我们通常会将 的值域扩至 ,并设 

p进赋值

p为正质数。对于所有非有理数,存在一且唯一一个整数 使得   ,其中 均非 的倍数。p进赋值就是函数  。它给出一个p进绝对值  ,定义为

   
 

p进赋值是个非阿基米得赋值。其值群是  

例子

  •  紧黎曼曲面 为其上的亚纯函数域。固定一点 。定义   的重根数,便得到 上的赋值,其值群为 。对于高维情形则须考虑其因子,但此时需考虑点的拉开,状况较复杂。扎里斯基正是为了研究代数曲面而开始研究赋值论。
  • 上述构造亦可套用到定义在任意域上的代数曲线
  • 利用函数域数域的类比,可在 上考虑p进赋值。根据奥斯特洛夫斯基定理 上的任意赋值皆等价于某个p进赋值。

参见

参考文献

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
  • Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
  • Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8 

扩展阅读