赋值

一个域${\displaystyle K}$ 上取值在有序交换群Γ的赋值是从${\displaystyle K^{*}}$ 到Γ的映射${\displaystyle v}$ ，满足下述性质：

• ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$ （即：${\displaystyle v}$ 是群同态）
• ${\displaystyle x+y\neq 0\Rightarrow v(x+y)\geq \mathrm {min} (v(x),v(y))}$ 

Γ称作${\displaystyle v}$ 的值群。

两个赋值${\displaystyle v_{i}:K^{*}\rightarrow \Gamma _{i}\;(i=1,2)}$ 被称作等价的，当且仅当存在有序交换群的同构${\displaystyle \phi :\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}}$ 使得${\displaystyle v_{2}=\phi \circ v_{1}}$ 。

为了操作上的便利，我们通常会将${\displaystyle v}$ 的值域扩至${\displaystyle \Gamma \cup \{\infty \}}$ ，并设${\displaystyle v(0)=\infty }$ 。

设p为正质数。对于所有非零的有理数，存在一且唯一一个整数${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle x={\frac {u}{v}}p^{n}}$  ，其中${\displaystyle u,v}$ 均非${\displaystyle p}$ 的倍数。p进赋值就是函数 ${\displaystyle v_{p}:x\to n}$ 。它给出一个p进绝对值 ${\displaystyle \vert \cdot \vert _{p}:\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ，定义为

p进赋值是个非阿基米得赋值。其值群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。

• 令${\displaystyle X}$ 为紧黎曼曲面，${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$ 为其上的亚纯函数域。固定一点${\displaystyle x\in X}$ 。定义${\displaystyle v_{x}(f)}$ 为${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle x}$ 的重根数，便得到${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$ 上的赋值，其值群为${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。对于高维情形则须考虑其因子，但此时需考虑点的拉开，状况较复杂。扎里斯基正是为了研究代数曲面而开始研究赋值论。
• 上述构造亦可套用到定义在任意域上的代数曲线。
• 利用函数域与数域的类比，可在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上考虑p进赋值。根据奥斯特洛夫斯基定理，${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的任意赋值皆等价于某个p进赋值。

• 有序交换群
• 赋值环