代数曲线

定义在域${\displaystyle F}$ 上的仿射代数曲线可以看作是${\displaystyle F^{n}}$ 中由若干个${\displaystyle n}$ -元多项式${\displaystyle g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ 定义的公共零点，使得其维数为一。

利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线${\displaystyle f(x,y)=0}$ ，其中${\displaystyle f\in F[x,y]}$ ，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程${\displaystyle g_{i}=0}$ （${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ）中，我们作代换：

${\displaystyle g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$ 

遂得到${\displaystyle n-1}$ 个齐次多项式，它们在射影空间${\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{n}}$ 中定义一条曲线，此射影曲线与开集${\displaystyle U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}}$ 的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}}$ 中的费马曲线${\displaystyle X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0}$ ，其上的有理点对应到费马方程${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}}$ 的互素整数解。

代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域${\displaystyle F}$ 上的函数域${\displaystyle K}$ 是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素${\displaystyle x\in K}$ 使得${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle F}$ 上超越，而且${\displaystyle K/F(x)}$ 是有限扩张。

以复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 为例，我们可以定义复系数有理函数域${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ 。变元${\displaystyle x,y}$ 对代数关系${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x-1}$ 生成的域${\displaystyle \mathbb {C} (x,y)}$ 是一个椭圆函数域，代数曲线${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}}$  给出它的一个几何模型。

若基域${\displaystyle F}$ 非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域${\displaystyle F:=\mathbb {R} }$ 并考虑其上的代数曲线${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$ ，此方程定义了一个${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ 的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而

${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset }$ 

代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。

复射影曲线可以嵌入${\displaystyle n}$ 维复射影空间${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ 。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。

于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。

判断方式

曲线在一点${\displaystyle P}$ 的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 中的曲线：设该曲线由${\displaystyle n-1}$ 个${\displaystyle n+1}$ 个变元的齐次多项式${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}$ 定义，若其雅可比矩阵${\displaystyle \left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}}$ 在区线上一点${\displaystyle P}$ 满秩，则称它${\displaystyle P}$ 点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}$ 的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。

在平面射影曲线的例子，假设曲线${\displaystyle C}$ 由齐次方程式${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ 定义，则${\displaystyle C}$ 的奇点恰为${\displaystyle C}$ 上使得${\displaystyle \nabla f}$ 为零的点，即：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)}$ 

在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。

奇点分类

曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线${\displaystyle x^{3}=y^{2}}$ 之于原点${\displaystyle (0,0)}$ ，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线${\displaystyle f(x,y)=0}$ 在一点${\displaystyle P}$ 的奇点性质可以透过下述方式理解：

透过平移，不妨假设${\displaystyle P=(0,0)}$ 。将多项式${\displaystyle f(x,y)}$ 写成

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)}$ 

其中${\displaystyle f_{n}(x,y)}$ 是${\displaystyle n}$ 次齐次多项式。直观地想像，${\displaystyle f(x,y)=0}$ 在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为${\displaystyle f_{m}(x,y)}$ 。根据齐次性可以将之分解成

${\displaystyle f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)}$ 

换言之，曲线在原点附近将近似于${\displaystyle m}$ 条（含重复）直线${\displaystyle a_{i}x-b_{i}y=0}$ 的联集。上式中相异的直线数${\displaystyle r}$ 称作分支数，正整数${\displaystyle m}$ 称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量${\displaystyle \delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}}$ ，其中${\displaystyle {\tilde {C}}\rightarrow C}$ 是该曲线的正规化态射。资料[m, δ, r]能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到${\displaystyle [2,1,1]}$ ，一般双重点对应到${\displaystyle [2,1,2]}$ ，而一般n重点则对应到${\displaystyle [n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]}$ 。

各奇点的不变量δ_P决定平面曲线${\displaystyle f(x,y)=0}$ 的亏格：设${\displaystyle \deg f=d}$ ，则有

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$ 

对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设${\displaystyle P=(0,0)}$ ，在原点附近够小的四维球${\displaystyle B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}}$ 内有${\displaystyle (x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0}$ ，此时有连续映射

${\displaystyle \nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}$ 

由于${\displaystyle B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}$  同伦等价于三维球面${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：

${\displaystyle \mu =2\delta -r+1}$ 

事实上，${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}}$ 在ε够小时是${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}}$ 中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如：${\displaystyle x^{3}=y^{2}}$ 在尖点附近的奇点环圈是三叶结。

有理曲线

域${\displaystyle F}$ 上的有理曲线是双有理等价于射影直线${\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{1}}$ 的曲线，换言之，其函数域同构于单变元有理函数域${\displaystyle F(t)}$ 。当${\displaystyle F}$ 代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$ 给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。

具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。

任何${\displaystyle F}$ 上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点${\displaystyle P}$ 而斜率为${\displaystyle t}$ 的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于${\displaystyle F}$ 的根已知，即${\displaystyle P}$ 的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于${\displaystyle F}$ ，而且能表作${\displaystyle t}$ 在${\displaystyle F}$ 上的有理函数。y坐标的作法相同。

例。考虑斜椭圆${\displaystyle E:x^{2}+xy+y^{2}=1}$ ，其中${\displaystyle (-1,0)}$ 是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线${\displaystyle y=t(x+1)}$ ，并带入E的等式，于是得到：

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}}$ 。

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}}$ 

这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。

将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线

${\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!}$ 

以上参数化遂表为

${\displaystyle X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!}$ 

若取${\displaystyle t}$ 为整数，对应的${\displaystyle X,Y,Z}$ 是不定方程${\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}}$ 的整数解；若将${\displaystyle X}$ 代以${\displaystyle -X}$ ，则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理，借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形，例如取${\displaystyle t=2}$ ，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。

椭圆曲线

椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!}$ 

椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ，其中的${\displaystyle \Lambda }$ 由相应的椭圆函数给出。

亏格大于一的曲线

对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据Faltings定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线（英语：Hyperelliptic curve）、克莱因四次曲线（英语：Klein quartic）与一开始提到的费马曲线（英语：Fermat curve）在${\displaystyle n\geq 4}$ 的情形。

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