有序交换群

有序交换群系指一对 ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$ ，其中 ${\displaystyle \Gamma }$  为交换群，${\displaystyle >}$  为其上的一个二元关系，且满足如下条件：

• 若 ${\displaystyle a<0}$ ，则 ${\displaystyle -a>0}$ 。
• 若 ${\displaystyle a,b>0}$ ，则 ${\displaystyle a+b>0}$ 。

另一种等价的描述是：给定一个子集 ${\displaystyle \Gamma _{+}\subset \Gamma }$ ，使得 ${\displaystyle \Gamma _{+}}$  对加法封闭，且 ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}}$ 。

若对于每个 ${\displaystyle x\in \Gamma }$  都存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$  使得 ${\displaystyle n\cdot 1>x}$ ，则称 ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$  满足阿基米德性质。

• 由上述公理可推出：对于每个 ${\displaystyle x\in \Gamma ,x\neq 0}$  都有 ${\displaystyle x^{2}>0}$ 。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}}$  都是有序交换群且满足阿基米德性质。
• 若 ${\displaystyle (\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})}$  为有序交换群，则 ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}$  配合其字典序也构成一个有序交换群。
• ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$  满足阿基米德性质的充要条件是它可以嵌入 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ 。

• 序理论
• 环