西格尔模形式

数学中,西格尔模形式辛群上的自守形式。西格尔模形式是西格尔上半平面上的一类多变元全纯函数模形式是其特例。在模空间的意义下,若模形式对应到椭圆曲线,则西格尔模形式便对应更广的阿贝尔簇

卡尔·西格尔在1930年代引入这个概念,本意在以解析数论处理二次型的问题。西格尔模形式后来也用于代数几何椭圆上同调及某些物理学问题,例如共形场论

定义

固定正整数  。首先定义西格尔上半平面

 ,

换言之,此即虚部正定对称矩阵构成的空间。

再定义一个离散子群

 ,

其中   单位矩阵

再设

 

为一有理复表示,这相当于说  代数簇之间的有理映射,并保持群运算。

现在可以定义西格尔模形式:对任一函数  ,我们采用下述符号

 
 .

所谓权为  、次数为  、阶为   的西格尔模形式,是满足下述条件的全纯函数  

 .

  时,须要求   在无穷远处全纯。对于  ,可证明此条件自动成立(Koecher 定理)。

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