西格尔模形式在数学中，西格尔模形式是辛群上的自守形式。西格尔模形式是西格尔上半平面上的一类多变元全纯函数，模形式是其特例。在模空间的意义下，若模形式对应到椭圆曲线，则西格尔模形式便对应更广的阿贝尔簇。 卡尔·西格尔在1930年代引入这个概念，本意在以解析数论处理二次型的问题。西格尔模形式后来也用于代数几何、椭圆上同调及某些物理学问题，例如共形场论。 定义 固定正整数 g , N {\displaystyle g,N} 。首先定义西格尔上半平面为 H g = { τ ∈ M g × g ( C ) | τ T = τ , Im ( τ ) > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{T}=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau )>0\right\}} ,换言之，此即虚部正定之对称矩阵构成的空间。 再定义一个离散子群 Γ g ( N ) = { γ ∈ G L 2 g ( Z ) | γ T ( 0 I g − I g 0 ) γ = ( 0 I g − I g 0 ) , γ ≡ I 2 g mod N } {\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\}} ,其中 I g {\displaystyle I_{g}} 表 g × g {\displaystyle g\times g} 阶单位矩阵。 再设 ρ : GL ( g , C ) → GL ( V ) {\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}(g,\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)} 为一有理复表示，这相当于说 ρ {\displaystyle \rho } 是代数簇之间的有理映射，并保持群运算。 现在可以定义西格尔模形式：对任一函数 f : H g → V {\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\to V} ，我们采用下述符号 γ = ( A B C D ) {\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}} ( f | γ ) ( τ ) := ( ρ ( C τ + D ) ) − 1 f ( γ τ ) {\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau ):=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau )} .所谓权为 ρ {\displaystyle \rho } 、次数为 g {\displaystyle g} 、阶为 N {\displaystyle N} 的西格尔模形式，是满足下述条件的全纯函数 f : H g → V {\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\to V} ∀ γ ∈ Γ g ( N ) ( f | γ ) = f {\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma _{g}(N)\;(f{\big |}\gamma )=f} .当 g = 1 {\displaystyle g=1} 时，须要求 f {\displaystyle f} 在无穷远处全纯。对于 g > 1 {\displaystyle g>1} ，可证明此条件自动成立（Koecher 定理）。 外部链接 Gerard van der Geer, Lecture notes on Siegel modular forms (PDF)