有理映射

固定概形 ${\displaystyle V,W}$ 。考虑所有的资料 ${\displaystyle (U,f)}$ ，其中 ${\displaystyle U\subset V}$  是稠密开集，而 ${\displaystyle f:U\to W}$  是态射；这些资料代表了 ${\displaystyle U}$  上“部分定义”的态射，${\displaystyle U}$  代表 ${\displaystyle f}$  的定义域。定义下述等价关系：

${\displaystyle (U,f)\sim (U',g)\iff f|_{U\cap U'}=g|_{U\cap U'}}$ 

此外，注意到稠密性保证 ${\displaystyle U\cap U'}$  也是 ${\displaystyle V}$  中的稠密开集。当 ${\displaystyle V}$  不可约，则所有非空开集都是稠密的。若再假设 ${\displaystyle V}$  既约而 ${\displaystyle W}$  是分离概形，则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。

从概形 ${\displaystyle V}$  到 ${\displaystyle W}$  的有理映射 ${\displaystyle f}$  是其中的一个等价类 ${\displaystyle [U,f]}$ 。

若 ${\displaystyle f}$  是从 ${\displaystyle U}$  到 ${\displaystyle V}$ ，${\displaystyle g}$  是从 ${\displaystyle V}$  到 ${\displaystyle W}$  的有理映射，则一般并不能定义其合成 ${\displaystyle g\circ f}$ 。但是当 ${\displaystyle f}$  的像（对某个，因而对每个代表元 ${\displaystyle (U_{0},f_{U_{0}})}$ ）在 ${\displaystyle V}$  中稠密时，对每个 ${\displaystyle g}$  的代表元 ${\displaystyle (V_{0},g_{V_{0}})}$ ，${\displaystyle f_{U_{0}}(U_{0})\cap V_{0}}$  皆非空，此时可以定义 ${\displaystyle g\circ f:=[f_{U_{0}}^{-1}(V_{0}),g_{V_{0}}\circ f_{U_{0}}]}$ 。

同理，若 ${\displaystyle V}$  与 ${\displaystyle W}$  都是 ${\displaystyle S}$  上的概形，也可以类似地定义 ${\displaystyle S}$ -有理映射。

设 ${\displaystyle k}$  为整环，设 ${\displaystyle V:=\mathbb {A} _{k}^{n}}$ 、${\displaystyle W:=\mathbb {A} _{k}^{m}}$ ，则从 ${\displaystyle V}$  到 ${\displaystyle W}$  的任何有理映射 ${\displaystyle f}$  有唯一的表法：

${\displaystyle f=\left({\dfrac {f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}},\ldots ,{\dfrac {f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right)}$ 

其中 ${\displaystyle f_{i},g_{i}}$  是多项式。该有理映射可以在 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}\setminus \bigcup _{i}\{g_{i}=0\}}$  上定义。

此外，对于不可约 ${\displaystyle k}$ -概形 ${\displaystyle X}$ ，其上的有理函数一一对应到从 ${\displaystyle X}$  到 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$  的有理映射。

之前考虑合成问题时，曾利用像的稠密性条件；满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成，定义从概形 ${\displaystyle V}$  到 ${\displaystyle W}$  的双有理等价为一个优势映射 ${\displaystyle f}$ ，使得存在另一个从 ${\displaystyle W}$  到 ${\displaystyle V}$  的优势映射 ${\displaystyle g}$ ，使 ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{W}}$ 、${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{V}}$ 。

以下考虑域 ${\displaystyle k}$  上的不可约代数簇及其间的 ${\displaystyle k}$ -有理映射。有理映射的地位在于：透过有理函数的“拉回”运算，代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射，而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的定义较同构宽，因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$  与 ${\displaystyle X:xy-wz=0\subset \mathbb {P} _{k}^{3}}$ ，两者双有理等价，而并不同构。原因如下：${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$  中的任两条闭曲线都有交点，而在 ${\displaystyle X}$  中，${\displaystyle w=x=0}$  与 ${\displaystyle y=z=0}$  不相交，因而 ${\displaystyle X}$  与 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$  并不同构。

另一方面，${\displaystyle X}$  的函数域可以在仿射开集 ${\displaystyle w\neq 0}$  上计算，此开集的座标环是 ${\displaystyle k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]}$ ，其函数域是 ${\displaystyle k(x,y)}$ ；这也是 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$  的函数域，于是二者双有理等价。若细审上述论证，事实上能写出所求双有理等价的式子。

• 双有理几何

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 （英语）.