根值审敛法根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第 n {\displaystyle n} 项的绝对值的 n {\displaystyle n} 次方根的上极限与1的大小关系。 无穷级数 ζ ( s ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}} 无穷级数 审敛法 项测试 · 比较判别法 · 极限比较检验法 ·根值审敛法 · 达朗贝尔判别法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹－切萨罗定理 · 迪尼判别法 级数 调和级数 · p-级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数 查论编 定理 根值审敛法判断流程表 设 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 是要判断审敛性的级数，令 C = lim n → ∞ ¯ | a n | n = lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},} 当 C < 1 {\displaystyle \,C<1\,} 时级数绝对收敛（当然同时也收敛） 当 C > 1 {\displaystyle \,C>1\,} 或 C = ∞ {\displaystyle \,C=\infty \,} 时级数发散 当 C = 1 {\displaystyle \,C=1\,} 时级数可能收敛也可能发散[1]。证明： 当 C < 1 {\displaystyle \,C<1\,} 时，取 q ∈ ( C , 1 ) {\displaystyle \,q\in (C,1)} ，由上极限的定义， { | a n | n } {\displaystyle \left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,} 应当有收敛于 C {\displaystyle \,C\,} 的子列 { | a n k | n k } {\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,} ，由极限的保序性， ∃ N ∈ N {\displaystyle \,\exists N\in \mathbb {N} } ，使 n > N {\displaystyle \,n>N\,} 时， | a n | n < q {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,} （否则，总可以取出极限不比 q {\displaystyle \,q\,} 小的子列，和 C {\displaystyle \,C\,} 的定义矛盾）。因而， n > N {\displaystyle n>N\,} 时，有 | a n | < q n {\displaystyle \,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,} ，又因为 ∑ n = 1 ∞ q n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n q n = lim n → ∞ q 1 − q n 1 − q = q 1 − q {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,} 是收敛的，由比较审敛法， ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,} 收敛，即 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 绝对收敛。 当 C > 1 {\displaystyle \,C>1\,} 或 C = ∞ {\displaystyle \,C=\infty \,} 时，取子列 { | a n k | n k } {\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,} ，从而 ∃ K ∈ N {\displaystyle \,\exists K\in \mathbb {N} \,} ，使得 k > K {\displaystyle \,k>K\,} 时， | a n k | > a n k n k > 1 {\displaystyle \,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1} 。这意味着 lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,} ，根据通项极限判别法，级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 是发散的。 例： lim n → ∞ ¯ 1 n n = lim n → ∞ ¯ 1 n 2 n = 1 {\displaystyle {\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,} ，但 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,} 发散，而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,} 。参见 比值审敛法 比较审敛法^ B.A.卓里奇. 数学分析（第一卷） 第四版. 高等教育出版社. : 86. ISBN 978-7-04-018302-3.
