比较审敛法

设两个正项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ 和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$ ，且${\displaystyle u_{n}\leq v_{n}(n=1,2,3,...)}$ ：

如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$ 收敛，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ 收敛；

如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ 发散，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$ 发散。

证明1

设${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},s_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$ 当${\displaystyle u_{n}\leq v_{n}}$ 时，则有${\displaystyle \sigma _{k}\leq s_{k}}$ ：

当级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$ 收敛时，数列${\displaystyle s_{k}}$ 有界，从而数列${\displaystyle \sigma _{k}}$ 有界，所以级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ 收敛；

当级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ 发散时，数列${\displaystyle \sigma _{k}}$ 无界，从而数列${\displaystyle s_{k}}$ 无界，所以级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$ 发散。

证明2

设有级数${\displaystyle \sum a_{n}}$ 与${\displaystyle \sum b_{n}}$ ，其中${\displaystyle \sum b_{n}}$ 绝对收敛（${\displaystyle \sum |b_{n}|}$ 收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ 。考虑它们的部分和${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|.}$ 由于${\displaystyle \sum b_{n}}$ 绝对收敛，存在实数T，使得${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$ 成立。

对于任意n，都有${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$  (因满足${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ )

由于${\displaystyle S_{n}}$ 为单调不下降序列，${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$ 为单调不上升序列(随着n上升，属于${\displaystyle |a_{n}|}$ 的便多过属于${\displaystyle |b_{n}|}$ )，给定${\displaystyle m,n>N}$ ，${\displaystyle S_{n},S_{m}}$ 都属于闭区间${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$ ，当N趋向无穷大时，这个区间的长度${\displaystyle T-T_{n}}$ 趋向于0。这表明${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ 是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此${\displaystyle \sum a_{n}}$ 绝对收敛。

• 审敛法
• 比值审敛法
• 根值审敛法
• 交错级数审敛法