斯托尔兹－切萨罗定理

∙/∞ 情况的叙述

令 ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$  以及 ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$  为两个实数数列。假设 ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$  是个严格单调且发散的数列(亦即严格递增并接近无穷大，或者严格递减并接近负无穷大)，以及下述极限存在:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$ 

那么，可以推得极限

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$ 

0/0 情况的叙述

令 ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$  以及 ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$  为两个实数数列。假设 ${\displaystyle (a_{n})\to 0}$  以及 ${\displaystyle (b_{n})\to 0}$ ，并且 ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$  是严格递减。如果

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\ }$ 

则

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$ ^[1]

用法说明

该定理虽然主要被用来处理数列不定型极限^[2][3]，但该定理在没有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$ 这一限制条件时也是成立的^[3]。虽然该定理通常是以分母${\displaystyle b_{n}}$ 为正数数列的情形加以叙述的，但注意到该定理对分子${\displaystyle a_{n}}$ 的正负没有限制，所以原则上把对数列${\displaystyle b_{n}}$ 的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。

与罗必达法则的迭代用法类似，在尝试应用斯托尔兹－切萨罗定理考察数列的极限时，如果发现两个数列差分的商仍然是不定型，可以尝试再使用1次该定理，考察其2阶差分之商的极限。^[3]

应当注意，当${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}$ 不存在时，不能认定${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ 必定也不存在。换句话说，确实有“有穷极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ 存在，但有穷极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}$ 不存在”的情况（详见下文针对此逆命题所举的反例）。

∙/∞的情况

第一种: 已知 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递增并发散至 ${\displaystyle +\infty }$ ，而且 ${\displaystyle -\infty <l<+\infty }$ ，因此我们有 ${\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}$  ${\displaystyle \exists \nu >0}$  使得 ${\displaystyle \forall n>\nu ,}$ 

${\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}$ 

也就是说

${\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\,\forall n>\nu .}$ 

因为 ${\displaystyle (b_{n})}$  是严格递增，所以 ${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}$ 。故以下式子成立:

${\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\,\forall n>\nu .}$ 

接着可以注意到

${\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}.}$ 

因此，将刚刚的不等式套入 ${\displaystyle a_{n}}$  的等式中，我们可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}}$ 

现在因为当 ${\displaystyle n\to +\infty }$  时，${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ ，因此存在 ${\displaystyle n_{0}>0}$  使得 ${\displaystyle \forall n>n_{0},}$  ${\displaystyle b_{n}>0}$ 。接着在 ${\displaystyle a_{n}}$  的不等式两边同除以 ${\displaystyle b_{n}}$  可以得出 ${\displaystyle \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\},}$ 

${\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}$ 

接着我们定义数列

${\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}.}$ 

观察这两个数列，可以发现因为 ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$  以及分子部分不是变数，所以皆收敛至 ${\displaystyle 0}$ 。因此我们有 ${\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}$  ${\displaystyle \exists n_{\pm }>n_{0}>0}$  使得

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\,\forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\,\forall n>n_{-}.\end{aligned}}}$ 

附注:因为现在只专注在 ${\displaystyle c_{n}^{\pm }}$  本身，并没有考虑 ${\displaystyle c_{n}^{\pm }}$  与不等式的关系，故 ${\displaystyle n}$  不必大于 ${\displaystyle \nu }$ 。又因为可能找到一个 ${\displaystyle n'\leq n_{0}}$  使得 ${\displaystyle b_{n'}=0}$ ，故 ${\displaystyle n}$  一定要大于 ${\displaystyle n_{0}}$ 。
最后，将以上不等式结合起来可以得到 ${\displaystyle \forall \epsilon >0,}$  ${\displaystyle \exists N:=\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace >0}$  使得

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\,\forall n>N.}$ 

亦即，${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.}$ 
若 ${\displaystyle (b_{n})}$  换成是严格递减并发散至 ${\displaystyle -\infty }$  的话，其证明的方法和上述的过程类似。

第二种: 已知 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递增并发散至 ${\displaystyle +\infty }$ ，而且 ${\displaystyle l=+\infty }$ ，因此我们有 ${\displaystyle \forall 2M>0,}$  ${\displaystyle \exists \nu >0}$  使得 ${\displaystyle \forall n>\nu ,}$ 

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.}$ 

一样地，将刚刚的不等式套入 ${\displaystyle a_{n}}$  的等式中，我们可以得到

${\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\,\forall n>\nu ,}$ 

以及

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\,\forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.}$ 

接着我们定义的数列

${\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}}$ 

会收敛至 ${\displaystyle 0}$ ，故我们有 ${\displaystyle \forall M>0,}$  ${\displaystyle \exists {\bar {n}}>n_{0}>0}$  使得

${\displaystyle -M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}}.}$ 

最后，将以上不等式结合起来可以得到 ${\displaystyle \forall M>0,}$  ${\displaystyle \exists N:=\max \lbrace \nu ,{\bar {n}}\rbrace >0}$  使得

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\,\forall n>N.}$ 

亦即，${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty .}$ 
若考虑 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递增或严格递减，以及发散至 ${\displaystyle +\infty }$  或 ${\displaystyle -\infty }$  的话，其证明的方法皆和上述的过程相同。

0/0的情况

第一种: 已知 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递减并收敛至 ${\displaystyle 0}$ ，而且 ${\displaystyle -\infty <l<+\infty }$ ，因此我们有 ${\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}$  ${\displaystyle \exists n_{0}>0}$  使得 ${\displaystyle \forall n>n_{0},}$ 

${\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}$ 

也就是说

${\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\,\forall n>n_{0}.}$ 

因为 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递减，所以

${\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+1})<a_{n}-a_{n+1}<(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+1}),\,\forall n>n_{0}.}$ 

接着可以注意到对于每一个 ${\displaystyle \nu >0,}$ 

${\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })]+a_{n+\nu }.}$ 

因此，将刚刚的不等式套入 ${\displaystyle a_{n}}$  的等式中，我们可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}}$ 

现在因为 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递减并收敛至 ${\displaystyle 0}$ ，所以可以保证 ${\displaystyle b_{n}>0,\,\forall n\in \mathbb {N} ^{+}.}$  故以下式子成立:

${\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l+\epsilon /2)}{b_{n}}},\,\forall n>n_{0}.}$ 

接着我们定义数列

${\displaystyle c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}.}$ 

观察这两个数列，可以发现若只考虑 ${\displaystyle \nu }$  在变动并将其取的很大，则 ${\displaystyle c_{\nu }^{\pm }}$  会收敛至 ${\displaystyle 0}$ 。因此我们有 ${\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}$  ${\displaystyle \exists \nu _{\pm }>0}$  使得

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\,\forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\,\forall \nu >\nu _{-}.\end{aligned}}}$ 

最后，将以上不等式结合起来可以得到 ${\displaystyle \forall \epsilon >0,}$  ${\displaystyle \exists n_{0}>0}$  使得

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\,\forall n>n_{0}.}$ 

亦即，${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.}$ 

第二种: 已知 ${\displaystyle (b_{n})}$  为严格递减并收敛至 ${\displaystyle 0}$ ，而且 ${\displaystyle l=+\infty }$ ，因此我们有 ${\displaystyle \forall 2M>0,}$  ${\displaystyle \exists n_{0}>0}$  使得 ${\displaystyle \forall n>n_{0},}$ 

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).}$ 

一样地，将刚刚的不等式套入 ${\displaystyle a_{n}}$  的等式中，我们可以得到

${\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu },\,\forall n>n_{0},}$ 

以及因为 ${\displaystyle b_{n}>0,\,\forall n\in \mathbb {N} ^{+}}$ ，所以

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\,\forall n>n_{0}.}$ 

接着我们定义的数列

${\displaystyle c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}}$ 

会收敛至 ${\displaystyle 0}$ ，故我们有 ${\displaystyle \forall M>0,}$  ${\displaystyle \exists {\bar {\nu }}>0}$  使得

${\displaystyle -M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }}.}$ 

最后，将以上不等式结合起来可以得到 ${\displaystyle \forall M>0,}$  ${\displaystyle \exists n_{0}>0}$  使得

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\,\forall n>n_{0}.}$ 

亦即，${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty .}$ 

直观解释

利用与折线斜率的类比，该定理具有直观的几何意义。^[3]

这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数，斯托尔兹－切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本^[3]。但在类比记忆时应当注意，斯托尔兹－切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性（或者至少当项数足够大时，要具有严格单调性），而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求；洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性，但斯托尔兹－切萨罗定理对数列不存在类似限制（数列没有“可差分性”一说）。并非所有的函数都可以进行求导运算，但任何数列都是可以进行差分运算的。

此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ 存在时，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}$ 未必存在。如设${\displaystyle a_{n}=7n-(-1)^{n}}$ ，${\displaystyle b_{n}=7n-2\times (-1)^{n}}$ ，这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散至无穷大。易知${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ 存在，且数值为1。但是${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {7(n+1)-(-1)^{n+1}-(7n-(-1)^{n})}{7(n+1)-2\times (-1)^{n+1}-(7n-2\times (-1)^{n})}}={\frac {7-(-1)^{n+1}+(-1)^{n}}{7-2\times (-1)^{n+1}+2\times (-1)^{n}}}}$ 当${\displaystyle n\to \infty }$ 时是震荡的，即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的，而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。

该定理的一个推广形式如下^{[来源请求]}：

如果${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$  和${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ 是两个数列，而${\displaystyle b_{n}}$ 是单调无界的，那么

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$ 

• Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, Google图书)
• 奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten [一般算数讲义：新视角]. 莱比锡: B.G.托伊布内出版社（德语：B. G. Teubner Verlag） (原出版商)，互联网档案馆 (存档网站). 1885: 173–175 （德语）.