交错级数判别法

交错级数审敛法(Alternating series test)是证明无穷级数收敛的一种方法,最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现,因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法莱布尼茨准则

具有以下形式的级数

其中所有的an 非负,被称作交错级数,如果当n趋于无穷时,数列an的极限存在且等于0,并且每个an小于或等于an-1(即,数列an单调递减的),那么级数收敛.如果L是级数的和

那么部分和

逼近L有截断误差

证明

我们假设级数具有形式 .当 趋于无穷时,数列 的极限等于0,并且每个  小于或等于 (即 单调递减数列).[1]


收敛性证明

给定数列前   项的部分和  .由于每个括号内的和非正,并且   ,那么前   项的部分和不大于  .

并且每个部分和可写做  .每个括号内的和非负.因此,级数   单调递增:对任何   均有: .

结合以上两段论述,由单调收敛定理可得,存在数   使得  .

由于   并且   ,那么  .给定数列的和为   ,其中   为有限数,从而数列收敛.

部分和截断误差的证明

在收敛性的证明过程中,我们发现 是单调递增的.由于 ,并且括号中的每一项是非正的,这样可知 是单调递减的.由先前的论述, ,因此 .类似的,由于 是单调递增且收敛到 ,我们有 .因此我们有 对所有的n均成立.

因此如果k是奇数我们有 ,而如果k是偶数我们有 

参阅

图书资料

  • Knopp,Konrad,"Infinite Sequences and Series",Dover publications,Inc.,New York,1956.(§ 3.4) 编辑
    1. ^ Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.