拉马努金求和

拉马努金求和法本质上是部分和的性质，而非整个数列的级数和性质，后者在此情形通常是无法定义的。若我们同时采用欧拉-麦克劳林求和公式以及伯努利数的修正规则，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}$ 

拉马努金写道：^[1]当p趋近于无限大，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}$ ，

其中C是此级数的特定常数，然而拉马努金并未指定其解析延拓以及积分的上下限。将两式作比较，并假设R趋近于0，而x趋近于无限大；当一函数 f(x) 在x = 0不发散：

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}$ 

其中拉马努金假设${\displaystyle \scriptstyle a\,=\,0}$ 。若设${\displaystyle \scriptstyle a\,=\,\infty }$ ，可得到寻常收敛级数的求和式。当一函数 f(x) 在x = 1不发散，可得：

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}$ 

C(0)因此被提议用作发散数列的和。在此建立了求和与积分之间的桥梁。

下文中，${\displaystyle \scriptstyle (\Re )}$ 表示“拉马努金求和法的值”。此式最早出现在拉马努金的笔记本，笔记本中没有任何注记指示出此为一种新求和法的范例。

举例来说，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的${\displaystyle \scriptstyle (\Re )}$ 为:

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )}$ 。

拉马努金计算了一些知名发散级数的“和”。注意到拉马努金和并非一般级数和的概念^[2][3]，亦即部分和不会收敛到${\displaystyle \scriptstyle (\Re )}$ 这个值。

又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉马努金和${\displaystyle \scriptstyle (\Re )}$ ：

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )}$ 

延伸至正偶数幂，可得：

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )}$ 

而奇数幂的结果则与伯努利数有关：

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )}$ 

目前有提议采用C(1)取代C(0)作为拉马努金求和的结果，以其可保证一个级数${\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$ 允许唯一的拉马努金求和结果。^[4]

如此拉马努金求和的定义（标作${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)}$ ）与早期拉马努金求和C(0)不相同，也与收敛级数求和的结果不相同；但其带有有趣的性质：若R(x)趋近于一个有限值极限，当x → +1，则此级数${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)}$ 是收敛的，而可得

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}$ 。

特别是如下例子：

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma }$ 

其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。

拉马努金求和可以延伸至积分：举例来说，运用欧拉-麦克劳林求和公式可写出

${\displaystyle {\begin{array}{l}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-s}dx={\frac {m-s}{2}}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum \limits _{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\-\sum \limits _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}dx\end{array}}}$ ，

此为ζ函数正规化演算积分的自然延伸。

迭代方程式为有限的，因为当${\displaystyle m-2r<-1}$ ，

${\displaystyle \qquad \int _{a}^{\infty }dxx^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}}$ ；

其中

${\displaystyle I(n,\,\Lambda )\,=\,\int _{0}^{\Lambda }dxx^{n}}$ （参见：黎曼ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization）。）

要是${\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty }$ ，拉马努金求和可以应用在量子场论的重整化方法，得到有限值的结果。

• 发散级数
• 切萨罗求和
• 博雷尔求和
• 拉马努金和
• 1 - 1 + 1 - ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + …