切萨罗求和

令{a_n}为一数列，且令

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$ 

为数列前k项的部分和：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

若以下的条件成立，则此数列{a_n}的切萨罗和存在，且其值为α。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha }$ .

令 a_n = (-1)ⁿ⁺¹, n ≥ 1。因此{a_n} 为以下的数列：

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$ 。

其部分和组成的数列 {s_n} 为

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }$ ；

此数列为格兰迪级数，不会收敛。

而数列 {(s₁ + ... + s_n)/n} 的各项分别为

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }$ ；

当n趋近于无限大，切萨罗和为如下极限：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}$ 。

因此，数列 {a_n} 的切萨罗和为 1/2。

切萨罗在1890年发展了更广泛的切萨罗和，表示为(C, n)，其中n为非负整数。 (C, 0) 是一般定义下的和，而(C, 1)就是上述的切萨罗和。

n>1时的(C, n) 如下所述： 对于级数Σa_n, 定义

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}$ 

(上面的指数不表示指数)且定义 E_n^α 为数列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 A_n^α。 则 Σa_n 的 (C, α) 和则为

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$ 

若以上数值存在。^[1]

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

• 发散级数
• 切萨罗平均（英语：Cesàro mean）
• 博雷尔求和
• 拉马努金求和
• 里斯平均（英语：Riesz mean）

Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.