博雷尔求和

博雷尔求和大致上有两种形式，它们仅在适用范围上有差异；但整体上两个方法是一致的，意思是，只要能适用于同一级数，则它们必定得到同样的答案。

设A(z)是z的一个形式幂级数

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$ ，

则定义A的博雷尔变换为其等价幂级数

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}}$ 。

博雷尔指数求和

设A_n(z)为下列部分和：

${\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$ 。

博雷尔和的一种较弱的形式定义A的博雷尔和为

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)}$ 。

若此极限在某个z ∈ C时收敛至a(z)，则称A的弱博雷尔和收敛于z，并记为${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$ .

博雷尔积分求和

假设上述的博雷尔变换在实数上收敛，且下列的反常积分有意义，则A的博雷尔和定义为

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.}$ 

若积分在某个z ∈ C时收敛于a(z)，则称A的博雷尔和在z收敛，并记为 ${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$ 。

实际上，积分求和法的条件中，博雷尔变换无需对所有t都收敛，只需在0附近收敛为t的一个解析函数，且它在正半轴上解析连续即可。

正定性

(B)和(wB)两者都是正定的求和法，意味着若A(z)收敛，则博雷尔和与弱博雷尔和两者都会收敛，并且其值等于原级数的值，亦即：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}})}$ 。

(B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收敛，则

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt}$ ，

其中最右式正是原级数在z处的博雷尔和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

博雷尔和与弱博雷尔和的等价性

对任意的级数A(z)，若它在z ∈ C处是弱博雷尔可求和的，则必定是博雷尔可求和的。然而，可以构造 一个例子，使得其弱博雷尔和发散，但博雷尔和收敛。以下的定理表明了两者的等价性。

定理 （Hardy 1992，8.5）

设A(z) 是一个形式幂级数，并限定z ∈ C，则：

1. 若${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$ ，则${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z),({\boldsymbol {B}})}$ 。
2. 若${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$ ，且${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0}$ ，则${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$ 。

与其他求和法的关联

• (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1时的特殊情况。
• (wB) 可视为广义欧拉求和法(E,q) 一个有限制的形式，其中${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ 。

^[1]

几何级数

考虑几何级数

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}$ 

当 |z| < 1时，收敛到 1/(1 − z)。它的博雷尔变换为

${\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}}$ 

因此，上述级数的博雷尔和为

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}$ 

然而，这个积分能在更大的范围 Re(z) <  1 内收敛到 1/(1 − z)，也就是原级数的和。

另外，对原级数使用弱博雷尔求和法，则其部分和为A_N(z) = (1-z^N+1)/(1-z)，因此其弱博雷尔和为

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}}}$ ，

同样在Re(z) < 1时收敛。这个结论可以由等价定理的第二部分看出，因为对Re(z) < 1，

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0}$ 。

一个交替级数

级数

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}}$ 

对任意非零的 z 都发散。它的博雷尔变换为

${\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}$ 

对任意的|t| < 1 都成立，且于  t ≥ 0 上解析连续。

因此，上述级数的博雷尔和为

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}$ 

（其中Γ是指不完全Γ函数）

这个广义积分对任意的 z ≥ 0 都收敛，所以原来的发散级数是对任意这样的 z 博雷尔可求和的. 这个函数实际上是当 z 趋近于 0 时，原发散级数的一个渐近展开。从这个例子可见，一些发散的级数，亦有可能以博雷尔求和的方式求出“正确”的发散渐近展开式。

不满足等价性的例子

以下是（Hardy 1992，8.5）所给出的例子的一个扩展。考虑

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.}$ 

交换求和的顺序后，上式的博雷尔变换为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}}$ 

在 z = 2 处，可求得博雷尔和为

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,}$ 

其中 S(x) 表示菲涅耳积分。于是上述博雷尔积分对任意z ≤ 2 都收俭（但显然积分对 z > 2发散）。

至于求弱博雷尔和时，注意到

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0}$ 

仅对 z < 1 成立，因此，实际上求得的弱博雷尔和只在一个较小的范围内收敛。

• 发散级数
• 切萨罗求和
• 拉马努金求和

• Borel, E., Mémoire sur les séries divergentes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, 16: 9–131 [2013-05-25], （原始内容存档于2018-10-04） 
• Glimm, James; Jaffe, Arthur, Quantum physics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102 
• Hardy, Godfrey Harold, Divergent Series, New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620 
• Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421 
• Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988 
• Weinberg, Steven, The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467