反常积分

定义

第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下：

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle [a,+\infty )}$  上连续且可积。定义无穷积分：

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{a}^{u}f(x)\,dx}$ 。

类似的，设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle (-\infty ,a]}$  上连续且可积。定义无穷积分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx}$ 。

当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1}$ ；

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx=+\infty }$ ，即发散；

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x\sin x\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}x\sin x\,dx}$  ，振动发散。

推广定义

第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$  上连续且可积。定义无穷积分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\lim _{v\to +\infty }\int _{u}^{v}f(x)\,dx}$ 。

或者取区间上任意一点 ${\displaystyle c}$  ，分拆写成：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{c}^{v}f(x)\,dx}$ 。

当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。

例子如下：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}xe^{-x^{2}}\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}xe^{-x^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=0}$ ；

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}x\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}x\,dx=-\infty +\infty }$ ，即发散。

与柯西主值的联系

在无穷积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$  上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,dx}$ 。

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx=0}$ 。

根据定义，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

定义

第二类反常积分是反常积分，指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下：

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle (a,b]}$  上连续且可积，但在点 ${\displaystyle a}$  不连续。定义反常积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{b}f(x)\,dx}$ 。

类似的，设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle [a,b)}$  上连续且可积，但在点 ${\displaystyle b}$  不连续。定义反常积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to b^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx}$ 。

当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

${\displaystyle \int _{0}^{3}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=\lim _{u\to 3^{-}}\int _{0}^{u}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=2{\sqrt {3}}}$ ；

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{+}}\int _{u}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=+\infty }$ ，即发散。

推广定义

第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点，或上限及下限之间含有不连续点的积分。

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle (a,b)}$  上连续且可积，但在点 ${\displaystyle a}$  及 ${\displaystyle b}$  不连续。定义反常积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\lim _{v\to b^{-}}\int _{u}^{v}f(x)\,dx}$ 。

或者取区间上任意一点 ${\displaystyle c}$  ，分拆写成：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to b^{-}}\int _{c}^{v}f(x)\,dx}$ 。

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle [a,c)}$  及 ${\displaystyle (c,b]}$ 上连续且可积，但在点 ${\displaystyle c}$  不连续。定义反常积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to c^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx+\lim _{v\to c^{+}}\int _{v}^{b}f(x)\,dx}$ 。

当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。

例子如下：

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=6}$ ；

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=-\infty +\infty }$ ，即发散。

与柯西主值的联系

在反常积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle (a,b)}$  上连续且可积，但在点 ${\displaystyle a}$  及 ${\displaystyle b}$  不连续。定义反常积分的柯西主值：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx}$ ；

设函数 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle [a,c)}$  及 ${\displaystyle (c,b]}$ 上连续且可积，但在点 ${\displaystyle c}$  不连续。定义反常积分的柯西主值：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right]}$ 

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,dx=0}$ 。

根据定义，若反常积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但反常积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

• 欧阳光中、朱学炎、陈传璋 (2007)。《数学分析（下册）》。第三版。高等教育出版社。MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 积分
• 极限
• 柯西主值