柯西主值

第一类反常积分，称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。

设函数 f (x) 在 (–∞,+∞) 上连续且可积。可定义以下第一类反常积分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{c}^{v}f(x)\,dx}$ ，

其中 c 是区间上任意一点。

上式中两个极限皆收敛，这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散，则此积分发散。在这里，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同，即：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,dx}$ 。

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx&=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx\\&=\lim _{R\to +\infty }\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-R}^{R}\\&=\lim _{R\to +\infty }\left({\frac {R^{2}}{2}}-{\frac {R^{2}}{2}}\right)\\&=0\end{aligned}}}$ 

根据定义，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

第二类反常积分，称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。

设函数 f (x) 在 (a, b) 上连续且可积，但在点 a 及 b 不连续。可定义以下第二类反常积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to b^{-}}\int _{c}^{v}f(x)\,dx}$ ，

其中 c 是区间上任意一点。

设函数 g (x) 在 [a, c) 及 (c, b]上连续且可积，但在点 c 不连续。可定义以下第二类反常积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=\lim _{u\to c^{-}}\int _{a}^{u}g(x)\,dx+\lim _{v\to c^{+}}\int _{v}^{b}g(x)\,dx}$ 。

同样地，上式中两个极限皆收敛，这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散，则此积分发散。在这里，两个极限的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同，即：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx}$ ；

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}g(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }g(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}g(x)\,dx\right]}$ 。

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。

根据定义，若瑕积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

对于区间上有多个不连续点的积分，可由类似方式定义广义的柯西主值。

有些时候，无穷积分和瑕积分能同时出现。设函数 f (x) 在 (–∞, c) 及 (c, ∞)上连续且可积，但在点 c 不连续。我们能用以下方式计算其柯西主值：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{c-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{c+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,dx\right]}$ 。

在计算积分的柯西主值时，使用换元积分法可能会导致歧义。例如在计算 ${\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx}$  时，

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx&=\mathrm {PV} \int _{-2}^{0}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx+\mathrm {PV} \int _{0}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\left[-{\frac {1}{x^{2}(5+x)^{2}}}\right]_{-2}^{-\varepsilon }+\left[-{\frac {1}{x^{2}(5+x)^{2}}}\right]_{\varepsilon }^{1}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}(5-\varepsilon )^{2}}}+{\frac {1}{4(5-2)^{2}}}-{\frac {1}{(5+1)^{2}}}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}(5+\varepsilon )^{2}}}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {-20\varepsilon }{\varepsilon ^{2}(5-\varepsilon )^{2}(5+\varepsilon )^{2}}}\\&=-\infty \end{aligned}}}$ 

但若使用换元 ${\displaystyle u=5x+x^{2}}$  ， ${\displaystyle du=(5+2x)dx}$  ，

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx&=\mathrm {PV} \int _{-6}^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\\&=\mathrm {PV} \int _{-6}^{0}{\frac {2}{u^{3}}}\,du+\mathrm {PV} \int _{0}^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-6}^{-\varepsilon }{\frac {2}{u^{3}}}\,du+\int _{\varepsilon }^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\left[-{\frac {1}{u^{2}}}\right]_{-6}^{-\varepsilon }+\left[-{\frac {1}{u^{2}}}\right]_{\varepsilon }^{6}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}+{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{36}}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\right)\\&=0\end{aligned}}}$ 

在上面的两个结果中，第一个才是正确的。第二个计算方式中，由于使用换元取代时，两个极限的收敛速度改变了。当两者的改变不对称时，就会得到不一样的结果。要避免这样的情形，我们应避免使用换元取代的方法求柯西主值。

有些作者会把柯西主值直接叫作“主值”(principal value)。但这和多值函数的主值是没有关系的。

不同作者会使用不同的记号表示积分的柯西主值。以下是常见的记号：

${\displaystyle \mathrm {PV} \int f(x)\,dx}$ 、

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,dx}$ 、

${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,dx}$ 。

• 欧阳光中、朱学炎、陈传璋 (2007)。《数学分析（下册）》。第三版。高等教育出版社。MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Dave Rusin's webpage. Cauchy Principal Value. The Department of Mathematics, the University of Texas. http://www.math.utexas.edu/users/rusin/408D-12b/CPV.pdf.

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