柯西主值

微积分中,柯西主值是为某类原来发散反常积分指派特定数值的方式,为纪念数学家柯西而得此名。

第一类反常积分

第一类反常积分,称为无穷积分,指积分区间的上限或下限为无穷的积分。

设函数 f (x)(–∞,+∞) 上连续且可积。可定义以下第一类反常积分:

 

其中 c 是区间上任意一点。

上式中两个极限皆收敛,这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散,则此积分发散。在这里,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同,即:

 

若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:

 

根据定义,若无穷积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。

第二类反常积分

第二类反常积分,称为瑕积分,指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。

设函数 f (x)(a, b) 上连续且可积,但在点 ab 不连续。可定义以下第二类反常积分:

 

其中 c 是区间上任意一点。

设函数 g (x)[a, c)(c, b]上连续且可积,但在点 c 不连续。可定义以下第二类反常积分:

 

同样地,上式中两个极限皆收敛,这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散,则此积分发散。在这里,两个极限的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同,即:

 
 

若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。

根据定义,若瑕积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。

对于区间上有多个不连续点的积分,可由类似方式定义广义的柯西主值。

混合反常积分

有些时候,无穷积分和瑕积分能同时出现。设函数 f (x)(–∞, c)(c, ∞)上连续且可积,但在点 c 不连续。我们能用以下方式计算其柯西主值:

 

计算问题

在计算积分的柯西主值时,使用换元积分法可能会导致歧义。例如在计算   时,

 

但若使用换元   

 

在上面的两个结果中,第一个才是正确的。第二个计算方式中,由于使用换元取代时,两个极限的收敛速度改变了。当两者的改变不对称时,就会得到不一样的结果。要避免这样的情形,我们应避免使用换元取代的方法求柯西主值。

名称和记号

有些作者会把柯西主值直接叫作“主值”(principal value)。但这和多值函数的主值是没有关系的。

不同作者会使用不同的记号表示积分的柯西主值。以下是常见的记号:

 
 
 

参考文献

参见