Π的莱布尼茨公式

数学领域,π的莱布尼茨公式说明

右边的展式是一个无穷级数,被称为莱布尼茨级数,这个级数收敛。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作:

证明

考虑下面的几何数列

 

对等式两边积分可得到反正切幂级数

 

x = 1 代入,便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此,需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交替级数判别法,然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而,也可以用一个完全初等的证明。

初等证明

考虑如下分解

 

对于|x| < 1,右侧的分式是余下的几何级数的和。然而,上面的方程并没有包含无穷级数,并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得:

 

 时,除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时,积分项收敛到0:

  当  

这便证明了莱布尼茨公式。

格点与数论证明

通过以 为圆心, 为半径的圆上及圆内格点(即横坐标与纵坐标皆为整数)个数计算公式来得出,在这里先考虑费马平方和定理:一个奇素数能表示成两个平方数之和当且仅当该素数模4余1,并且不考虑符号与交换律下其形式唯一(由于必为一奇一偶,因此不考虑符号但考虑交换律下必然为两种形式),比如 可以得出 ,而 因此无法分解成两个平方和形式。

现在对于所有正整数 ,有其唯一的素因数分解形式:

 

其中 为互不相同的模4余1的素数, 为互不相同的模4余3素数。

  • 如果 只要其中一个为奇数,则正整数 不存在表示成两个平方和的形式(比如 ,3的次数为1,因此不能表示成两平方和);
  • 而当 全为偶数时,此时能表示成平方数形式的数量等于 (不考虑符号但考虑交换律的情况,比如 ,其中5与13次数均为1,因此有 ,即 );
  • 2的幂次 不影响 表示两平方和形式的个数,比如不管 是多少, 能表示成两个平方和形式都是4种。

接下来引入狄利克雷特征函数,定义 ,因此为积性函数,满足 

  • 对于模4余1的素数 以及自然数 ,总有 ,因此 
  • 对于模4余3的素数 以及自然数 ,则有 ,因此 
  • 对于2以及自然数 ,当  ,即 ;当 时总有 ,因此 

由于 ,而这些结果正好与上述性质相吻合,因此 表示成两个平方和形式的数量可以由其所有因数 相应的 之和 来表示,比如 ,于是相应地有 

小于等于 能被正整数 整除的正整数有 个,因此对于半径为 圆上及圆内格点数总和为:

 

其中 为不超过 的最大奇数,再由圆面积为 ,当 时,两者比值极限得 [1]

参考文献

  • Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003,  

外部链接