负整数

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
超数
超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
基数
阿列夫数
 同余
 整数数列
公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无穷大 $\infty$

负整数，在数学中是指小于0的整数。负整数是负数与整数的交集。和整数一样，负整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常用粗体Z^-或 $\mathbb {Z} ^{-}$ 来表示。在任何大于0的自然数前面加上性质符号“−”，所得的数即为负整数，例如−1、−2、−3等。负整数可以被认为是自然数的扩展。负整数与0则统称为非正整数。

性质

负整数是指小于零的整数^{[注 1]}。负整数存在最大值负一，但不存在最小值；负整数与负整数的和仍是负整数，而负整数与负整数的积会变为正整数。

负整数的平方

由于负整数与负整数的积会变为正整数，因此负整数的平方与其相反数的平方数相同

{(-n)}^{2}={n}^{2}

负整数的方根

若不考虑复数，负整数不能取平方根，但能够取奇数次的方根。在复数域中，负整数的平方根为其相反数平方根的虚数单位倍。

{\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}

负整数的对数

在实数域中，负整数的对数不存在。但在复数域，根据欧拉恒等式 ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，可以得出-1的自然对数 $\ln {(-1)}=i\pi$ ，再依据对数性质 $\log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N$ ，负整数的对数 $\ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}$ ，得到：

\ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi

负整数的因数

负整数的正因数与其相反数的正因数相同^[1]。在质因数分解中，能够透过将负一提出来完成质因数分解^[2]^[3]，而除了-1外，其他的质因数亦与其相反数相同。

部分的负整数

-1

负数单位。
最大的负整数、最大的负奇数。
平方根为虚数单位。

-2

负数，因数有-2、-1、1和2。
质因数分解， $-1\times 2$ 。
最大的负偶数。
立方体下闭集合中欧拉示性数的最小值^[4]。

-3

负数，因数有-3、-1、1和3。
质因数分解， $-1\times 3$ 。
负三分贝为半能点。
二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 为简单欧几里得整环。^{[注 2]}
四维超立方体（或四维超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[4]

-4

负数，因数有-4、-2、-1、1、2和4。
质因数分解， $-1\times 2^{2}$ 。
五维超立方体（或五维超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[4]
平方根为2i

-6

负数，因数有-6、-3、-2、-1、1、2、3和6。
质因数分解，解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle -1\times 2\times 3} 。
广义的三角形数、广义的六边形数与双Pochhammer三角形（Double Pochhammer triangle）（OEIS数列A039683）。

-7

负数，因数有-7、-1、1和7。
质因数分解， $-1\times 7$ 。
二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]$ 为简单欧几里得整环。^{[注 2]}

-10

负数，因数有-10、-5、-2、-1、1、2、5和10。
质因数分解， $-1\times 2\times 5$ 。
六维超立方体（英语：6-cube）（或六维超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[4]

-11

负数，因数有-11、-1、1和11。
质因数分解， $-1\times 11$ 。
二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-11}}]$ 为简单欧几里得整环。^{[注 2]}

-40

负数，因数有-40、-20、-10、-8、-5、-4、-2、-1、1、2、4、5、8、10、20和40。
质因数分解， $-1\times 2^{3}\times 5$ 。
华氏及摄氏温标的平等点，即-40℉=-40℃。

参见

正整数

注释

^ 在资讯领域中提到的负零一般不属于数论中的负整数集合中。
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 有此性质的负数只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS数列A048981）^[5]

参考文献

^ Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始内容存档于2017-07-01）.
^ José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.
^ Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[1] 在资讯领域中提到的负零一般不属于数论中的负整数集合中。

[oeisA048981-7] 2.0 ^2.1 ^2.2 有此性质的负数只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS数列A048981）^[5]

[2] Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始内容存档于2017-07-01）.

[book_pardo2012introduction-3] José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.

[book_bard2015sage-4] Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.

[oeisA214283-5] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[6] LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[注 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[注 2]

[5]