双曲复数

考虑数${\displaystyle z=x+jy}$ ，其中${\displaystyle x,y}$ 是实数，而量${\displaystyle j}$ 不是实数，但${\displaystyle j^{2}}$ 是实数。

选取${\displaystyle j^{2}=-1}$ ，得到一般复数。取${\displaystyle +1}$ 的话，便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：

${\displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)}$ 

${\displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)}$ 

共轭、范数

对于${\displaystyle z=x+jy}$ ，其共轭值${\displaystyle z^{*}=x-jy}$ 。对于任何双曲复数${\displaystyle z,w}$ ，

${\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}$ 

${\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}$ 

${\displaystyle (z^{*})^{*}=z}$ 

可见它是自同构的。

定义内积为 ${\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv}$  。若${\displaystyle \langle z,w\rangle =0}$  ，说${\displaystyle z,w}$ （双曲）正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$ 。

这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变：${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$ 。

除法

除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

${\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}$ 

由此可见，双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为${\displaystyle k(1\pm j)}$ ，其中${\displaystyle k}$ 是实数。

基

双曲复数的幂等元有：

列方程${\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj}$ 。有四个解：${\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}$ 。

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。${\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}$  。

若将${\displaystyle z=ae+be^{*}}$ 表示成${\displaystyle (a,b)}$ ，双曲复数的乘法可表示成${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$  。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$ ，范数${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}$ 。

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R^1,1。正如欧几里得平面R²的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

在R，对于非零的${\displaystyle a}$ ，点集 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}}$  是双曲线。左边和右边的会经过${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle -a}$ 。${\displaystyle a=1}$ 称为单位双曲线。

共轭双曲线是${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}}$  ，会分别经过${\displaystyle ja}$ 和${\displaystyle -ja}$ 。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =0\}}$  分开。

欧拉公式的相应版本是${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$ 。

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。

20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。