幂等

二元运算

设${\displaystyle S}$ 为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则${\displaystyle S}$ 的元素${\displaystyle s}$ 称为幂等的(相对于${\displaystyle *}$ )当^[1][2]

${\displaystyle s*s=s}$ 

特别的是，任一单位元都是幂等的。若${\displaystyle S}$ 的所有元素都是幂等的话，则其二元运算*被称做是幂等的。例如，并集和交集的运算便都是幂等的。

一元运算

设${\displaystyle f}$ 为一由${\displaystyle X}$ 映射至${\displaystyle X}$ 的一元运算，则${\displaystyle f}$ 为幂等的，当对于所有在${\displaystyle X}$ 内的${\displaystyle x}$ ，

${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$ 

特别的是，恒等函数一定是幂等的，且任一常数函数也都是幂等的。

注意当考虑一由${\displaystyle X}$ 至${\displaystyle X}$ 的所有函数所组成的集合${\displaystyle S}$ 时，${\displaystyle f}$ 在一元运算下为幂等的当且仅当在二元运算下，${\displaystyle f}$ 相对于其复合运算(标记为${\displaystyle o}$ )会是幂等的。这可以写成${\displaystyle f\operatorname {o} f=f}$ 。

函数

如上述所说，恒等函数和常数函数总会是幂等的。较不当然的例子有实数或复数引数的绝对值函数，以及实数引数的高斯符号。

将一拓扑空间X内各子集U映射至U闭包的函数在X的幂集上是幂等的。这是闭包算子的一个例子；所有个闭包算子都会是幂等函数。

环的幂等元素

定义上，环的幂等元素为一相对于环乘法为幂等的元素。可以定义一于环幂等上的偏序：若e和f为幂等的，当ef = fe = e时，标记为e ≤ f。依其顺序，0会是最小幂等元素，而1为最大幂等元素。

若e在环R内为幂等的，则eRe一样会是个乘法单位元为e的环。

两个幂等元素e和f被称为正交的当ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是幂等的，且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。

若e在环R内为幂等的，则f = 1 − e也会是幂等的，且e和f正交。

一在R内的幂等元素e称为核心的，若对所有在R内的x，ex=xe。在此情形之下，Re会是个乘法单位元为e的环。R的核心幂等元素和R的分解为环的直和有很直接的关接。若R为环R₁、...、R_n的直和，则环R_i的单位元在R内为核心幂等的，相互正交，且其总和为1。相反地，给出R内给相互正交且总和为1的核心幂等元素e₁、...、e_n，则R会是环Re₁、...、Re_n的直和。所有较有趣的是，每一于R内的核心幂等e都会给出一R的分解－Re和R(1 − e)的直和。

任一不等于0和1的幂等元素都是零因子(因为e(1 − e) = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种幂等元素。局部环也没有此种幂等元素，但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的幂等元素只有0。共四元数环内会有一幂等元素组成的悬链曲面。

所有元素都幂等的环称做布尔环。可证明在每一此类环内，乘法都是可交换的，且每一元素都有其各自的加法逆元。

其他例子

幂等运算也可以在布尔代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。

在线性代数里，投影是幂等的。亦即，每一将向量投射至一子空间V（不需正交）上的线性算子，都是幂等的。

一幂等半环为其加法（非乘法）为幂等的半环。

• 不动点