加法逆元本条目存在以下问题，请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。 此条目需要扩充。 (2015年2月15日)请协助改善这篇条目，更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。此条目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2015年2月15日)请邀请适合的人士改善本条目。更多的细节与详情请参见讨论页。此条目没有列出任何参考或来源。 (2015年2月15日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。 加法逆元，又称相反数（英语：Opposite）。对于任意数 a {\displaystyle a} ，存在相反数满足其与 a {\displaystyle a} 的和为零（加法单位元）。 a {\displaystyle a} 的加法逆元表示为 − a {\displaystyle -a} 。 在实数中，数 a {\displaystyle a} 的相反数 − a {\displaystyle -a} ，被称为其加法逆元；相对地，数 a {\displaystyle a} 的倒数 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 或 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ，则被称为其乘法逆元。 目录 1 一般定义 2 特殊情况 2.1 定义 2.2 证明 3 例 4 参考文献 一般定义 设“+”为一个交换性的二元运算，即对于所有 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} 。若该集合中存在一个元素 0 {\displaystyle 0} ，使得对于所有 x {\displaystyle x} , x + 0 = 0 + x = x {\displaystyle x+0=0+x=x} ，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的 x {\displaystyle x} ，存在一个 x ′ {\displaystyle x'} 使得 x + x ′ = x ′ + x = 0 {\displaystyle x+x'=x'+x=0} ，则称 x ′ {\displaystyle x'} 是 x {\displaystyle x} 的加法逆元。 特殊情况 定义 若“+”满足结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。 证明 反证法： 设 x {\displaystyle x} 有两个相异的加法逆元 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有 x = x + 0 {\displaystyle x=x+0} 的关系。 ⇒ 0 = x + x 1 = x + x 2 {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} 产生矛盾，证讫。 例 向量空间：标量乘法 − 1 {\displaystyle -1} 欧几里得空间：以原点为中心的反演变换参考文献
