标量乘法

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标量乘法（英语：scalar multiplication）是线性代数中向量空间的一种基本运算[1][2][3]（更广义的，是抽象代数的一个模）[4][5])。在直觉上，将一个实数向量和一个正的实数进行标量乘法，也就是将其长度乘以此标量，方向不变。标量一词也从此用法而来：可将向量缩放的量。标量乘法是将标量和向量相乘，结果得到一向量，和内积将两向量相乘，得到一标量不同。

“标量乘法”的各地常用别名
中国大陆标量乘法、数乘
港台纯量乘法、系数积
用标量乘法得到一向量的三倍
向量a的标量乘法，−a和2a

定义

若K为域，而V为K上的向量空间，标量乘法为从K× V到V的函数。将K中的c和V中的v计算标量乘法，结果记为cv。

性质

标量乘法符合以下的规则：（粗体表示向量）

  • 标量的加成性：(c + d)v = cv + dv；
  • 向量的加成性：c(v + w) = cv + cw；
  • 标量相乘和标量乘法的结合律：(cd)v = c(dv)；
  • 乘以1不会改变向量：1v = v；
  • 乘以0会得到零向量（英语：zero vector）：0v = 0；
  • 乘以-1会得到加法逆元：(−1)v = −v.

其中+表示域或是向量空间的加法，0是域或是向量空间的加法单位元

诠释

标量乘法可以视为是向量空间的外部二元运算或域的群作用。标量乘法的几何诠释是向量的拉长，方向可能会对调。

标量乘法中，V也可以是K，则标量乘法就变成域中的乘法。

若V是Kn，标量乘法等于向量中的每一个元素都和标量相乘，需另外定义。

若K是交换环而V是K上的模，同样的定义仍可以适用。 K甚至可以是一个半环，但没有加法逆元。若K不符合交换律，可以定义左标量乘法cv和右标量乘法vc。

相关

参考资料

  1. ^ Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4. 
  2. ^ Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6. 
  3. ^ Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2. 
  4. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9. 
  5. ^ Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.