自同构

自同构的精确定义，依赖于“数学对象”的种类，及这对象的“同构”的准确界定。可以定义这些概念的最一般情形，是在数学的一个抽象分支，称为范畴论。范畴论是研究抽象对象和这些对象间的态射。

在范畴论中，自同构是一个自同态（即是一个对象到自身的一个态射）而同时为（范畴论所定义的）同构。

这是一个很抽象的定义，因为范畴论中，态射不一定是函数，对象不一定是集合。不过在更具象的情形中，对象会是有附加结构的集合，而态射会是保持这种结构的函数。

例如在抽象代数中，一个数学对象是代数结构，如群、环、向量空间等。一个同构就是双射的同态（同态按代数结构而定， 例如群同态、环同态、线性算子）。

恒等态射（恒等映射）在某些情况称为平凡自同构。相对地，其他（非恒等）自同构称为非平凡自同构。

如果一个对象X的自同构组成一集合（而不是一个真类）那么这些自同构以态射复合运算组成一个群。这个群称为X的自同构群。可以直接检查这的确是一个群：

• 闭合性：两个自同态的复合是另一个自同态。
• 结合性：态射复合一定有结合性。
• 单位元素：单位元素是一个对象到自身的恒等映射，按定义一定存在。
• 逆元素：任一同构按定义都有一个也是同构的逆映射，由于这逆映射也是同一对象的自同态，所以是自同构。

在一个范畴C中的一个对象X的自同构群，记为Aut_C(X)，如果内文明显看出该范畴，可简记为Aut(X)。

• 在集合论中，一个集合X的元素的任一个置换是一个自同构。X的自同构群也称为X上的对称群。
• 在初等算术中，整数集Z，考虑成在加法下的一个群，有唯一的非平凡自同构：取负。但是，考虑成一个环，便仅有平凡自同构。一般而言，取负是任何阿贝尔群的自同构，但不是一个环或域的自同构。
• 群自同构是一个群到自身的群同态。非正式而言，这是一个使得结构不变的群元素置换。对任何群G，有一个自然群同态G → Aut(G)，其像是内自同构群Inn(G)，其核是G的中心。因此若G有平凡中心，则可以嵌入到其自同构群之中。^[1]
• 在线性代数中，向量空间V的一个自同态是一个线性算子 V → V。一个自同构是V上的一个可逆线性算子。当向量空间V是有限维的，其自同构群即是一般线性群GL(V)。
• 域自同构是从一个域到自身的一个双射环同构。有理数域Q和实数域R都没有非平凡域自同构。R的一些子域有非平凡域自同构，但不能扩展至整个R（因为它们不能保持一个数在R中有平方根的性质）。复数域C有唯一的非平凡自同构将R映至R：复共轭，但是有（不可数）无限多“野性”自同构（假设选择公理）。^[2][3]域自同构对域扩张理论很重要，尤其是伽罗瓦扩张。在一个伽罗瓦扩张L/K的情形，L的自同构中，在子域K上逐点固定的所有自同构所组成的子群，称为该扩张的伽罗瓦群。
• p进数域Q_p没有非平凡自同构。
• 在图论中，一个图的图自同构（英语：Graph automorphism），是顶点的一个置换，使得边与非边保持不变：两个顶点若有边连接，则在置换下这两顶点的像有边连接，反之亦然。
• 在几何学中，空间的一个自同构有时称为空间的运动（英语：motion (geometry)）。一些特定名词也会使用：
  • 在度量几何中，一个自同构是一个自等距同构。空间的自同构群也称为空间的等距群。
  • 在黎曼曲面范畴中，一个自同构是一个曲面到自身的双全纯（英语：Biholomorphism）映射（也称为共形映射）。例如黎曼球面的自同构是莫比乌斯变换。
  • 一个微分流形M的自同构是从M到自身的微分同胚。自同构群有时记为Diff(M)。
  • 在拓扑学中，拓扑空间的态射是连续映射，一个拓扑空间的自同构是空间到自身的同胚，即是自同胚（见同胚群（英语：homeomorphism group））。在这例子中，一个态射是双射的，并不足以使这态射为一个同构（因其逆映射未必连续）。

群自同构的一个最早期的例子，是爱尔兰数学家威廉·哈密顿在1856年给出。在他的Icosian calculus（英语：Icosian calculus）中，他发现了一个2阶的自同构，^[4] 写道：

使得${\displaystyle \mu }$ 是新的五次单位根，与之前的五次单位根${\displaystyle \lambda }$ 以完美互反性的关系相关联。^[5]

有一些范畴，特别是群、环、李代数，其中的自同构可以分为两种，称为“内”自同构和“外”自同构。

对群而言，内自同构就是群本身的元素的共轭作用。对一个群G的每个元素a，以a共轭是一个运算φ_a : G → G，定义为φ_a(g) = aga⁻¹（或a⁻¹ga；用法各异）。易知以a共轭是一个群自同构。内自同构组成 Aut(G)的一个正规子群，记作Inn(G)。

其他的自同构称为外自同构。商群Aut(G) / Inn(G)通常记为Out(G)；非平凡元素是包含外自同构的陪集。

在任何有幺元的环或代数中的可逆元a，可以同样定义内自同构。对于李代数，定义有少许不同。

• 自同态环（英语：Endomorphism ring）
• 反自同构（英语：Antiautomorphism）
• 弗罗贝尼乌斯自同构
• 态射
• 特征子群（英语：Characteristic subgroup）

1. ^ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorphisms. Mathematical foundations of computational engineering Felix Pahl translation. Springer. 2001: 376. ISBN 3-540-67995-2. 
2. ^ Yale, Paul B. Automorphisms of the Complex Numbers (PDF). Mathematics Magazine. May 1966, 39 (3): 135–141 [2015-08-20]. JSTOR 2689301. doi:10.2307/2689301. （原始内容 (PDF)存档于2020-11-08）. 
3. ^ Lounesto, Pertti, Clifford Algebras and Spinors 2nd, Cambridge University Press: 22–23, 2001, ISBN 0-521-00551-5 
4. ^ Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity (PDF). Philosophical Magazine. 1856, 12: 446 [2015-08-20]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）. 
5. ^ 原文为"so that ${\displaystyle \mu }$  is a new fifth root of unity, connected with the former fifth root ${\displaystyle \lambda }$  by relations of perfect reciprocity."

• Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Automorphism. MathWorld.