高斯整数

高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为${\displaystyle 1,-1,i,-i}$ 。

素元

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ 的素元素又称为高斯素数。

高斯整数${\displaystyle a+bi}$ 是素数当且仅当：

• ${\displaystyle a,b}$ 中有一个是零，另一个是形为${\displaystyle 4n+3}$ 或其相反数${\displaystyle -(4n+3)}$ 的素数

或

• ${\displaystyle a,b}$ 均不为零，而${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ 为素数。

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数${\displaystyle g}$ ，${\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}$ 。现在，${\displaystyle N(g)}$ 是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ 的乘积。根据素数的定义，如果${\displaystyle g}$ 是素数，则它可以整除${\displaystyle p_{i}}$ ，对于某个${\displaystyle i}$ 。另外，${\displaystyle {\overline {g}}}$ 可以整除${\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}$ ，因此${\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}$ 。于是现在只有两种选择：要么${\displaystyle g}$ 的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数${\displaystyle p}$ ，有${\displaystyle N(g)=p^{2}}$ ，那么${\displaystyle g}$ 和${\displaystyle {\overline {g}}}$ 都能整除${\displaystyle p^{2}}$ 。它们都不能是可逆元，因此${\displaystyle g=pu}$ ，以及${\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}$ ，其中${\displaystyle u}$ 是可逆元。这就是说，要么${\displaystyle a=0}$ ，要么${\displaystyle b=0}$ ，其中${\displaystyle g=a+bi}$ 。

然而，不是每一个素数${\displaystyle p}$ 都是高斯素数。${\displaystyle 2}$ 就不是高斯素数，因为${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$ 。高斯素数不能是${\displaystyle 4n+1}$ 的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ 的形式，其中${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 是整数，且${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$ 。剩下的就只有形为${\displaystyle 4n+3}$ 的素数了。

形为${\displaystyle 4n+3}$ 的素数也是高斯素数。假设${\displaystyle g=p+0i}$ ，其中${\displaystyle p=4n+3}$ 是素数，且可以分解为${\displaystyle g=hk}$ 。那么${\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}$ 。如果这个分解是非平凡的，那么${\displaystyle N(h)=N(k)=p}$ 。但是，任何两个平方数的和都不能写成${\displaystyle 4n+3}$ 的形式。因此分解一定是平凡的，所以${\displaystyle g}$ 是高斯素数。

类似地，${\displaystyle i}$ 乘以一个形为${\displaystyle 4n+3}$ 的素数也是高斯素数，但${\displaystyle i}$ 乘以形为${\displaystyle 4n+1}$ 的素数则不是。

如果${\displaystyle g}$ 是范数为素数的高斯整数，那么${\displaystyle g}$ 是高斯素数。这是因为如果${\displaystyle g=hk}$ ，那么${\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}$ 。由于${\displaystyle N(g)}$ 是素数，因此${\displaystyle N(h)}$ 或${\displaystyle N(k)}$ 一定是1，所以${\displaystyle h}$ 或${\displaystyle k}$ 一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是${\displaystyle \mathbf {Z} }$ 在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 个单位。因此，${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ 是一个欧几里德环，其中${\displaystyle v(z)=N(z)}$ 。所以，该环尤其是主理想整环，其理想皆形如${\displaystyle \langle a+bi\rangle }$ 。若${\displaystyle (a,b)=1}$ ，则对应的商是：

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}$ ^[1]

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数${\displaystyle 3,7,11,19,\dots }$ 。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为${\displaystyle 1}$ 的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

• 艾森斯坦整数
• 费马平方和定理
• 二次互反律

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• 从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5