高斯圆问题

考虑${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中以原点为中心和以${\displaystyle r\geq 0}$ 为半径的一个圆。高斯圆问题询问该圆中有多少个点${\displaystyle (m,n)}$ 使${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 都是整数。由于在笛卡尔坐标系中，这个圆的方程式是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ，问题等价于询问有多少对整数${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 使得

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$ 

以${\displaystyle N(r)}$ 表示输入为${\displaystyle r}$ 时的答案。以下第一行先列出${\displaystyle r}$ 由${\displaystyle 0}$ 至${\displaystyle 12}$ 时，${\displaystyle N(r)}$ 的值，第二行列出${\displaystyle \pi r^{2}}$ 四舍五入到最接近的整数，以作比较：

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS数列A000328）

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS数列A075726）

${\displaystyle N(r)}$ 大概是${\displaystyle \pi r^{2}}$  ，半径范围内的区域${\displaystyle r}$  。这是因为平均而言，每个单位正方形包含一个格子点。因此，圆中格子点的实际数量大约等于其面积， ${\displaystyle \pi r^{2}}$  。因此，应该预期

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$ 

对于某些错误项${\displaystyle E(r)}$ 具有相对较小的绝对值。找到正确的上限${\displaystyle \mid E(r)\mid }$ 因此是问题采取的形式。注意${\displaystyle r}$ 不必是整数。后${\displaystyle N(4)=49}$ 一个有${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$ 在这些地方${\displaystyle E(r)}$ 之后它减少（以${\displaystyle 2\pi r}$  ），直到下一次增加为止。

高斯设法证明^[1]

${\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$ 

谢尔品斯基将指数改进至${\displaystyle 2/3}$ ，以大O符号表示，即证明${\displaystyle |E(r)|=O(r^{2/3})}$ ，约翰内斯·范德科皮特（英语：Johannes van der Corput）引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指数为${\displaystyle 37/56}$ 的结果（此数略小于${\displaystyle 2/3}$ ）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指数为${\displaystyle 13/20}$ 与${\displaystyle 24/37}$ 的上界。^[2]

下界方面，哈代^[3]和Landau分别独立证明

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$ 

其中用到小o表示。据推测^[4]，正确的界线是

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$ 

设${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$ 总成立，则关于${\displaystyle t}$ 的最小可能值${\displaystyle t_{0}}$ ，目前所知的结果是

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$ 

其中下界是1915年Hardy和Landau所证，上界于2000年由马丁·赫克斯利（英语：Martin Huxley）证明。^[5]

${\displaystyle N(r)}$ 的值可以由几个形式给出，例如以下取整函数表示成以下和式： ^[6]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$ 

这是雅可比二平方和定理（英语：Sum of two squares theorem）的结果，该定理来自雅可比三重积（英语：Jacobi triple product）。^[7]

如果将平方和函数（英语：Sum of squares function）${\displaystyle r_{2}(n)}$ 定义为将自然数${\displaystyle n}$ 写为两个整数平方之和的方法数，则${\displaystyle r_{2}(n)/4}$ 是一个积性函数^[8]，且可写出较简单的和式：^[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)}$ 

Hardy首次发现了以下的最新成果： ^[9]

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$ 

其中${\displaystyle J_{1}}$ 表示第一种阶数为1的贝塞尔函数。

尽管最初的问题要求在一个圆内的整数点个数，但没有理由不考虑其他形状，例如圆锥形。的确，狄利克雷（Dirichlet）的除数问题是用矩形双曲线替换圆的等价问题。同样，可以将问题从二维扩展到更高的维度，并在球体或其他物体中求整数。关于这些问题有大量文献。如果忽略几何学而仅将问题视为Diophantine不等式的代数之一，则可能会增加问题中出现的指数，从平方到立方，甚至更高次方。

原始圆问题

另一个概括是计算互质整数解数量${\displaystyle m,n}$ 的不等式

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}$ 

此问题称为原始圆问题，因为它涉及搜索原始圆问题的原始解。可以直观地理解为在原点的欧几里得果园中可见多少距离为r的树木的问题。如果表示此类解决方案的数量${\displaystyle V(r)}$ 然后的值${\displaystyle V(r)}$ 为了${\displaystyle r}$ 取小整数值是

0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的数列A175341）

使用与普通的高斯圆问题相同的方法，以及两个整数互质的几率为${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ ，容易证明

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}$ 

与普通的圆问题一样，原始圆问题的问题部分在于减少误差项中的指数。如果假设黎曼猜想正确，目前最著名的指数是${\displaystyle 221/304+\varepsilon }$ 。在不假设黎曼猜想正确的情况下，最著名的上限是

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}$ 

其中${\displaystyle c}$ 为正常数 。 ^[10]特别是，目前不假设黎曼猜想正确的情况下，对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，${\displaystyle 1-\varepsilon }$ 的误差项没有限制。

• 埃里克·韦斯坦因. Gauss's circle problem. MathWorld.