单位根

${\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}$ 

这方程的复数根 ${\displaystyle z\,}$ 为${\displaystyle n\,}$ 次单位根。

单位的 ${\displaystyle n\,}$ 次根有 ${\displaystyle n\,}$ 个：

${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)}$ 。

单位的 ${\displaystyle n\,}$ 次根以乘法构成${\displaystyle n}$ 阶循环群。它的生成元是 ${\displaystyle n\,}$ 次本原单位根。${\displaystyle n\,}$ 次本原单位根是${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}}$ ，其中${\displaystyle k\,}$ 和${\displaystyle n\,}$ 互质。${\displaystyle n\,}$ 次本原单位根数目为欧拉函数${\displaystyle \varphi (n)}$ 。

一次单位根有一个: ${\displaystyle 1\,}$ 。

二次单位根有两个: ${\displaystyle +1\,}$ 和${\displaystyle -1\,}$ ，只有${\displaystyle -1\,}$ 是本原根。

三次单位根是

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}$ 

其中${\displaystyle {\mathrm {i} }\,}$ 是虚数单位；除${\displaystyle 1\,}$ 外都是本原根。

四次单位根是

${\displaystyle \left\{1,+{i},-1,-{i}\right\},}$ 

其中${\displaystyle +{\mathrm {i} }\,}$ 和${\displaystyle -{\mathrm {i} }\,}$ 是本原根。

当${\displaystyle n\,}$ 不小于${\displaystyle 2\,}$ 时，${\displaystyle n\,}$ 次单位根总和为${\displaystyle 0\,}$ 。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi k{n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0}$ 。

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的${\displaystyle x^{n-1}\,}$ 项系数为零得出。