正多边形

• 正三角形
• 正方形 (正四边形)
• 正五边形
• 正六边形
• 正七边形
• 正八边形
• 正十边形
• 正十二边形

正 n 边形每个内角为 ${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\times 180^{\circ }}$  或者表示为 ${\displaystyle {\frac {(n-2)\times 180^{\circ }}{n}}}$  角度。也可以用弧度表示为${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ 或者${\displaystyle {\frac {n-2}{2n}}}$ 。

正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每个正多边形都有一个外接圆。

正多边形可尺规做图当且仅当正多边形的边数 n 的奇质数因子是费马数。参见可尺规作图的多边形。

n > 2 的正多边形的对角线数目是 ${\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}$ ，如 0、2、5、9、... 等，这些对角线将多边形分成 1、4、11、24、... 块。

正 n 边形的面积为

${\displaystyle Deg:A={\frac {nt^{2}\sin({\frac {360}{n}})}{4[1-\cos({\frac {360}{n}})]}}}$ 

${\displaystyle Rad:A={\frac {nt^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{4[1-\cos({\frac {2\pi }{n}})]}}}$ 

其中 t 是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。

如果 t=1 则正多边形的面积为,

${\displaystyle Deg:A={\frac {n\sin({\frac {360}{n}})}{4[1-\cos({\frac {360}{n}})]}}}$ 

${\displaystyle Rad:A={\frac {n\sin({\frac {2\pi }{n}})}{4[1-\cos({\frac {2\pi }{n}})]}}}$ 

从而可以得到

n<8 的正多边形的面积比同周长的圆的面积小大约 0.26，随着 n 的增加，这个差值趋近于 π/12。

n边多边形的对称群 为 2n 阶的 dihedral group D_n：D₂, D₃, D₄,... 它包括 C_n 中的 n 阶旋转对称以及经过中心的 n 条轴线的镜像对称。如果 n 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。如果 n 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。

正多边形的广义分类包括星形正多边形，例如五角星与五边形的顶点相同，但是顶点要交替相连。

示例：

• 五角星 - {5/2}
• 七角星 - {7/2}, {7/3}
• 八角星 - {8/3}
• 九角星 - {9/2}, {9/4}
• 十角星 - {10/3}
• 十一角星 - {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}
• 十二角星 - {12/5}

正多面体是以正多边形作为面的多面体，因此对于每两个顶点来说都有一个等距的映射将其中一点映射到另一点。

• 正多面体
• 正多胞体
• 正图形列表
• 正多边形镶嵌
• 等边多边形
• 等角多边形
• 圆内接多边形
• 圆外切多边形
• 外接圆
• 内切圆
• 外接球
• 内切球

• Mathworld: Regular Polygon （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Regular Polygon description （页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation
• Incircle of a Regular Polygon （页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation
• Area of a Regular Polygon （页面存档备份，存于互联网档案馆） Three different formulae, with interactive animation