十七边形

作图

1796年高斯证明了可以用尺规作图作出正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件。正十七边形其中一个作图方法如下：

英文里，詹·何顿·康威认为heptadecagon是错误的拼法，应为heptakaidecagon。

可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。高斯的书Disquisitiones包含了这条等式：

${\displaystyle \operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.}$ 

证明

设正十七边形中心角为${\displaystyle \alpha }$ ,则${\displaystyle 17\alpha =360^{\circ }}$ 度,

即${\displaystyle 16\alpha =360^{\circ }-\alpha }$ 

故${\displaystyle \sin 16\alpha =-\sin \alpha }$ ，而

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}}$ 

因为${\displaystyle \sin \alpha \neq 0}$ ，则

${\displaystyle 16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1}$ 

又由 ${\displaystyle 2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}$ 等，有

${\displaystyle 2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1}$ 

而${\displaystyle \cos 15\alpha =\cos 2\alpha }$ ，${\displaystyle \cos 12\alpha =\cos 5\alpha }$ ，令

${\displaystyle x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }$ 

${\displaystyle y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }$ 

有：

${\displaystyle x+y=-{\frac {1}{2}}}$ 

又

${\displaystyle {\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}}$ 

所以，得

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}$ 

${\displaystyle y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}$ 

另设:

${\displaystyle x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha }$ ，${\displaystyle x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha }$ ，

${\displaystyle y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }$ ，${\displaystyle y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }$ 

故有

${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}$ 

${\displaystyle y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}$ 

最后，由

${\displaystyle \cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}}$ 

${\displaystyle \cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}}$ 

可得

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$ 

其为整数加减乘除平方根的组合，故正十七边形可用尺规作出。

以下的几个网页均有介绍如何正十七边形的尺规作图：

• http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html （朝鲜文）
• https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html （英文）
• http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）