二面体群

数学中,二面体群 是正 边形的对称群,具有 个元素。某些书上则记为 。除了 的情形外, 都是非交换群。

雪花有正六边形的二面体对称。
群论
Cyclic group.svg

生成元与关系

抽象言之,首先考虑  循环群  。反射    上的自同构,而且  。定义二面体群为半直积

 

任取   的生成元     生成,其间的关系是

 

  的元素均可唯一地表成  ,其中   

几何诠释

 
n=5 的情形:反射对称
 
n=5 的情形:旋转对称

二面体群也可以诠释为二维正交群   中由

  (旋转   弧度)
  (对 x 轴反射)

生成的子群。由此不难看出   是正 n 边形的对称群。

性质

  •   的中心在   为奇数时是  ,在   为偶数时是  
  •   为奇数时,  同构于   与二阶循环群的直积。同构可由下式给出:
 

其中   

  •   为奇数时,  的所有反射(即:二阶元素)彼此共轭;当   为偶数,则反射元在共轭作用下分解成两个轨道;从几何方面解释,二者差意在于反射面是否通过正   边形的顶点
  •  ,则  ,由此可导出   共有   个子群,其中的算术函数    分别代表   的正因数个数与正因数之和。

表示

  为奇数时,  有两个一维不可约表示:

 

  为偶数时,  有四个一维不可约表示:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
正八边形的停车标志 群作用下的结果
 

其余不可约表示皆为二维,共有   个,形如下式:

 

其中   是任一 n 次本原单位根  。由   给出的表示相等价当且仅当  

文献