拓扑群

拓扑群 G 是拓扑空间和群使得群运算

${\displaystyle G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy}$ 

和

${\displaystyle G\to G:x\mapsto x^{-1}}$ 

是连续函数。这里的 G × G 被看作使用乘积拓扑得到拓扑空间。

尽管我们这里没有做其他要求，很多作者要求在 G 上的拓扑是豪斯多夫空间。下面会讨论其理由和一些等价条件。最后，这不是个严重的限制 — 很多拓扑群都可以用规范方式变成豪斯多夫空间。

使用范畴论的语言，拓扑群可以简明的定义为在拓扑空间范畴内的群对象，如同普通的群是集合范畴的群对象一样。

同态

在两个拓扑群 G 和 H 之间的同态就是连续群同态 G → H。拓扑群的同构则要求同时是群同构及对应拓扑空间的同胚。这比单纯要求连续群同构要更强，因其逆函数必须也是连续。有作为普通群是同构的但作为拓扑群却不同构的例子。实际上，任何非离散的拓扑群在用离散拓扑来考虑的时候也是（另一个）拓扑群。底层的群是一样的（同构），但两个拓扑群并非同构。

拓扑群和它们的同态一起形成一个范畴。

每个群可以平凡地变成一个拓扑群，这是通过给它一个离散拓扑达成地；这样的群称为离散群。在这个意义下，拓扑群的理论包含了普通群的理论。

实数 R，以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群。更一般的，欧几里得空间Rⁿ连同加法和标准的拓扑构成拓扑群。更一般的，所有拓扑向量空间（譬如巴拿赫空间和希尔伯特空间）的加法群是拓扑群。

上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群（是拓扑群也是流形）。例如，一般线性群GL(n,R)由所有可逆n×n实系数矩阵组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL(n,R)作为欧几里得空间R^n×n的子空间得到的子空间拓扑。所有李群是局部紧的。

不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而它不是离散拓扑。对于一个非交换的例子，可以考虑R³的旋转群由绕不同轴作2π的无理数倍的两个旋转所生成的子群。

在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中，可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。

拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如，在任何拓扑群中单位分支（也就是包含单位的连通分支）是一个闭正规子群。

拓扑群G上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚。同样，若a是G的任意元素，则a的左乘和右乘产生G → G的一个同胚。

每个拓扑群可以两种方式视为一个一致空间；“左一致性”将所有左乘变成一个一致连续映射，而“右一致性”将所有右乘变为一致连续映射。若G非交换，则这两个一致性并不相同。这个一致性结构使得在拓扑群上讨论完备性、一致连续、和一致收敛成为可能。

作为一个一致空间，每个拓扑群是一个完全正则空间。因而，若一个拓扑群是T₀（也就是柯尔莫果洛夫空间），则它也是T₂ (也即豪斯多夫空间)。

两个拓扑群之间的最自然的同态概念是一个连续的群同态。拓扑群，和作为态射的连续群同态一起，构成一个范畴。

每个拓扑群的子群本身也是一个拓扑群，只要取子空间拓扑便可。若H是G的一个子群，所有左或右陪集G/H是一个拓扑空间，只要取商拓扑便可（G/H上使得自然投影q : G → G/H连续的最细拓扑)。可以证明商映射q : G → G/H总是开映射。

若H是一个G的正规子群，则因子群，G/H成为一个拓扑群，而从普通群理论来的同构基本定理在这个范围中也是成立的。但是，若H不是G的拓扑下的闭集，则G/H不是T₀的，即使G是。因此很自然可以要求限制到只考虑T₀拓扑群的范畴，并且限制定义中的正规到正规且闭。

若H是G的子群，则H的闭包也是一个子群。同样，若H是一个正规子群，则H的闭包也是正规的。

对于调和分析有特殊重要性的是局部紧拓扑群，因为它们承认一个自然的测度和积分的概念，由哈尔测度给出。在很多方面，局部紧拓扑群是可数群的一个推广，而紧拓扑群可以视为有限群的一个推广。群表示理论对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的。

• 李群
• 代数群
• 拓扑环

• Husain, Taqdir. Introduction to Topological Groups. Philadelphia: W.B. Saunders Company. 1966. 
• Pontryagin, Lev S. Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu 3rd ed. New York: Gordon and Breach Science Publishers. 1986.   引文格式1维护：冗余文本 (link)