群概形

在代数几何中，一个概形${\displaystyle S}$ 上的群概形${\displaystyle G}$ 是范畴${\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}$ 中的群对象。借由米田信夫引理，我们可以给出两种刻划：

• 以乘法、单位元与逆元定义：存在${\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}$ 中的态射
  • 乘法：${\displaystyle m:G\times _{S}G\rightarrow G}$ 
  • 单位元：${\displaystyle e:S\rightarrow G}$ 
  • 逆元：${\displaystyle i:G\rightarrow G}$ 

并满足结合律等等群的性质。

• 以函子性定义：点函子${\displaystyle h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set} }$ 透过遗忘函子${\displaystyle \mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set} }$ 分解。。

换言之：对于任意的${\displaystyle S}$ -概形${\displaystyle T}$ ，${\displaystyle G(T)}$ 构成一个群；而且对任意${\displaystyle S}$ -态射${\displaystyle T'\rightarrow T}$ ，诱导映射${\displaystyle G(T)\rightarrow G(T')}$ 都是群同态。

• 代数群：设${\displaystyle k}$ 为域，${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$ 上的连通、光滑群概形称作${\displaystyle k}$ 上的代数群。

• 李代数：群概形${\displaystyle G}$ 自然地作用在它的全体向量场上。${\displaystyle G}$ 的全体左不变向量场称作${\displaystyle G}$ 的李代数，记为${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ；它是${\displaystyle S}$ 上的层。

• 交换环谱${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的群概形结构一一对应到${\displaystyle A}$ 的Hopf代数结构。
• 阿贝尔簇：即一个域${\displaystyle k}$ 上的真（proper）代数群，它们必然是可交换的。
• 线性代数群：即${\displaystyle GL(n)}$ 中的闭子群。仿射代数群都是线性代数群，它们在表示理论及数论中占有根本地位。Chevalley定理断言：若${\displaystyle k}$ 代数封闭，则对所有代数群${\displaystyle G}$ 都存在短正合列${\displaystyle 1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1}$ ，其中${\displaystyle H}$ 是线性代数群而${\displaystyle A}$ 是阿贝尔簇。在此意义下，所有代数群都是由阿贝尔簇与线性代数群建构而来。
• 设${\displaystyle \mathrm {char} (k)=p>0}$ ，并考虑${\displaystyle k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)}$ 的谱。这些群在拓朴上只有一个点，但其结构层带有幂零元素。这些子群在代数群的研究中相当常见，同时也是理解${\displaystyle \mathrm {char} (k)>0}$ 时的代数群之重要关键。

• A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
• M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson
• D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press