同构基本定理

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同构第一定理

给定一个群同态 ${\displaystyle f:G\to G'}$ ，根据群同态第一基本定理，我们可以把${\displaystyle G}$ 除以${\displaystyle G}$ 的核，使${\displaystyle f}$  变成单射。

直观来讲，把一个群${\displaystyle G}$ 除以${\displaystyle G}$ 的子群${\displaystyle H}$ 相当于把${\displaystyle H}$ 里的元素看成0(一元素）。把${\displaystyle f}$ 的核除掉后，我们使得${\displaystyle f(x)=0}$ 只在 ${\displaystyle x=0}$ 时才会成立，这是${\displaystyle f}$ 的单射性的等价叙述。

我们必须先确定商群具有群的结构，才可以对${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}$ 进行讨论。

定理： 给定${\displaystyle G}$ 和${\displaystyle G'}$ 两个群，和${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ 群同态。则${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 是一个${\displaystyle G}$ 的正规子群。

证明： 记 ${\displaystyle \cdot }$  为${\displaystyle G}$ 和${\displaystyle G'}$ 的运算符号，记${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle e'}$ 他们的单位元，我们可以验证${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$  在共轭运算下封闭，即对于所有${\displaystyle x\in G}$ 、所有${\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}$ ，有${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}$ 。

我们有${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}$ 。由于${\displaystyle h}$ 在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 里面，即${\displaystyle f(h)=e'}$ ，我们推论${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}$ 。因此，${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}$ 在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 里面，故${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 是${\displaystyle G}$ 的正规子群。

${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 是${\displaystyle G}$ 的正规子群的这个性质让我们可以在商群${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$ 上定义一个与${\displaystyle G}$ 的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故，群同态${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ 诱导出群同构${\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}$ 。

我们有以下的定理：

群同构第一定理 给定${\displaystyle G}$ 和${\displaystyle G'}$ 两个群，${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ 群同态，则${\displaystyle f}$ 诱导出一个从${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$ 打到${\displaystyle f(G)}$ 的群同构。

证明： 记${\displaystyle H}$ 为${\displaystyle f}$ 的核。我们定义${\displaystyle {\hat {f}}}$ 为${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}$ .

• 函数${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 定义良好，即${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}$ 只依赖于${\displaystyle xH}$ 而与代表${\displaystyle x}$ 的选择无关。理由是，若${\displaystyle y\in G}$ 是${\displaystyle xH}$ 的一个代表，即若${\displaystyle xH=yH}$ ，则${\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}$ ，所以${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ，从而${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}$ 。
• 由商群运算的定义，${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 是一个群同态。
• 群同态${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 满射：对于所有${\displaystyle y\in f(G)}$ ，存在${\displaystyle x\in G}$ 使得${\displaystyle f(x)=y}$ ，由此${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}$ 。
• 群同态${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 单射。理由是：考虑${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 的核里的任意元素${\displaystyle xH}$ ，则${\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}$ ，即${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle f}$ 的核${\displaystyle H}$ 里面。又${\displaystyle xH=H}$ 是${\displaystyle G/H}$ 的单位元。

这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合，以下为示意图

群同构第二定理

群同构第二定理： 给定群 ${\displaystyle G}$  、其正规子群 ${\displaystyle N}$  、其子群 ${\displaystyle H}$  ，则 ${\displaystyle N\cap H}$  是 ${\displaystyle H}$  的正规子群，且我们有群同构如下： ${\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}$ 

证明：

• 必须先证明${\displaystyle HN}$ 确实是一个群，以及${\displaystyle N}$ 限定在${\displaystyle HN}$  中亦是一个正规子群，才能讨论商群 ${\displaystyle HN/N}$ 。

设 ${\displaystyle hn}$  和 ${\displaystyle h'n'}$  为 ${\displaystyle HN}$  中的两个元素。我们有 ${\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}$  ，其中 ${\displaystyle hh'\in H}$ , ${\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}$  (因为 ${\displaystyle N}$  在 ${\displaystyle G}$  中正规) 且 ${\displaystyle n'\in N}$ ，故 ${\displaystyle hnh'n'}$  在 ${\displaystyle HN}$  中，其证明了 ${\displaystyle HN}$  在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及逆元的封闭性。

此外，我们有 ${\displaystyle N\subset HN\subset G}$  的包含关系，并且 ${\displaystyle N}$  在 ${\displaystyle G}$  中正规，所以也在 ${\displaystyle HN}$  中正规。

• 为了建构群同构，我们将使用群同构第一定理。

取 ${\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}$ 单射群同态，定义为 ${\displaystyle j(h)=h}$  ， 取标准满射 ${\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}$  (值域是个群，因为 ${\displaystyle N}$  在 ${\displaystyle G}$  中正规)。借由复合两个群同态，我们建构出一个新的群同态 ${\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}$  定义为 ${\displaystyle f(h)=hN}$ 。

• 群同态 ${\displaystyle f}$  是满射。

理由是，设 ${\displaystyle (hn)N\in HN/N}$  ，其中 ${\displaystyle h\in H}$  且 ${\displaystyle n\in N}$  。由于 ${\displaystyle n}$  在 ${\displaystyle N}$  里面， ${\displaystyle hnN=hN}$  ，故${\displaystyle hnN=f(h)}$ 。

• ${\displaystyle f}$  的核是 ${\displaystyle H\cap N}$  。

理由是， ${\displaystyle f(h)=hN}$  是 ${\displaystyle HN/N}$  的单位元，即 ${\displaystyle N}$  当且仅当， ${\displaystyle h}$  在 ${\displaystyle N}$  里面。由于 ${\displaystyle h}$  已经在 ${\displaystyle H}$  里面，所以证明这个相当于证明 ${\displaystyle h}$  在 ${\displaystyle N\cap H}$  里面。

• 由群同构第一定理知 ${\displaystyle N\cap H}$  是 ${\displaystyle H}$  的正规子群，且其诱导出的映射 ${\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}$  是群同构。

如果我们弱化前提，假设 ${\displaystyle N}$  的正规化子包含 ${\displaystyle H}$  (把相等改成包含)这个定理依然正确。

群同构第三定理

群同构第三定理： 给定群 ${\displaystyle G}$  ， ${\displaystyle N}$  和 ${\displaystyle M}$  为 ${\displaystyle G}$  的正规子群，满足 ${\displaystyle M}$  包含于 ${\displaystyle N}$  ，则 ${\displaystyle N/M}$  是 ${\displaystyle G/M}$  的正规子群，且有如下的群同构： ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$ 

证明： ${\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}$  为满射，其核为 ${\displaystyle N/M}$ 

所以可由群同构第一定理得到 ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$ 

• 将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
• 将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
• 与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK表示。具体的定义是：

${\displaystyle H+K=\left\{a+b|a\in H,b\in K\right\}}$ 

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系${\displaystyle \Phi }$ ，可看作是A × A上的子代数。等价类A/${\displaystyle \Phi }$ 的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系${\displaystyle \Phi }$ ：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/${\displaystyle \Phi }$ 同构于f的像（B的子代数）。

第二同构定理

设B是A的子代数，${\displaystyle \Phi }$ 是A上的同余类。令[B]${\displaystyle \Phi }$ 是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/${\displaystyle \Phi }$ 的一个子集；${\displaystyle \Phi _{B}}$ 是${\displaystyle \Phi }$ 限制在 B × B上的部分。那么[B]${\displaystyle \Phi }$ 是A/${\displaystyle \Phi }$ 的子代数结构，${\displaystyle \Phi _{B}}$ 是B上的同余类，并且[B]${\displaystyle \Phi }$ 同构于B/${\displaystyle \Phi _{B}}$ 。

第三同构定理

设A是一个代数结构，${\displaystyle \Phi }$ 和${\displaystyle \Psi }$ 是A上的两个同余关系，${\displaystyle \Psi }$ 包含于${\displaystyle \Phi }$ 。则${\displaystyle \Phi }$ 定义了A/${\displaystyle \Psi }$ 上的一个同余类${\displaystyle \Theta }$ ：[a]~[b]当且仅当a与b关于 ${\displaystyle \Phi }$ 同余（[a]表示a所在的${\displaystyle \Psi }$ -等价类），并且A/${\displaystyle \Phi }$ 同构于(A/${\displaystyle \Psi }$ )/${\displaystyle \Theta }$ 。