一千边形

正一千边形由1000条边和1000个顶点组成，每个内角的角度都是179.64°（约179度38分24秒）^[7][8]:66，十分接近平角^[4]:199，内角和为179640度^[4]:199，其值与1996倍的直角相同^[9]:60。若一个正一千边形过几何中心的对角线为单位长（即直径为单位长的圆内接正一千边形），则其周长接近3.141587…^[10]：

${\displaystyle 1000\sin {\frac {\pi }{1000}}\approx 3.141587\cdots }$ 

正一千边形的面积公式如下：

${\displaystyle A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\approx 79577.2\,a^{2}}$ 

它和外接圆的面积相差小于0.0004％。

因为1000 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{3}\times 5^{3}}$ ，它不是不同费马素数的乘积，也不是2的幂，因此正一千边形不是一个可作图多边形，这意味着一千边形不能仅用圆规和尺完成作图。事实上，甚至加上二刻尺作图的三等分角的方式也无法构建一千边形，因为其边数既不是皮尔庞特素数的乘积也不是二和三的幂的乘积。因此，一千边形的构造需要其他技术，例如二次希皮亚斯曲线（英语：Quadratrix_of_Hippias）、阿基米德螺线或其他辅助曲线。 例如，一千边形的中心角为0.36度^[11]，可以透过构造出一千边形的中心角来完成一千边形。首先可以用尺规作图构造一个9°角，然后使用辅助曲线将其五等分（分成五个相等的部分）两次，以产生所需的0.36°中心角。

勒内·笛卡尔在他的《第一哲学沉思集》的第六个沉思中以一千边形为例来展示纯粹的智力和想像之间的区别。 他说，当人们想到一千边形时，他在他面前“不会想像出一千条边或具体想像出一个一千边形的存在”，而想像三角形时就能想像出三条边或具体想像出一个三角形存在于他面前。 ^[12]:133想像力构造了一个“混乱的表象”，这与构造一个具有一万条边的一万边形没有什么不同。但想像者确实清楚地理解什么是一千边形，就像他理解什么是三角形一样，同时其也能区分出一千边形和一万边形的差别。因此笛卡尔声称，智力不依赖于想像力，因为当想像力无法做到时，智力仍能够产生清晰分明的想法。^[13]而与笛卡尔同时代的哲学家皮埃尔·伽桑狄对这种解释持批评态度。他认为虽然笛卡尔可以去想像一个一千边形，但他无法理解：人们可以“理解“一千边形”这个词表示一个具有一千个角的图形 [但是] 这只是该词汇的含义，并不意味着对这个具有一千个角之图形的理解比想像的要好。”^[14]

其他哲学家也引用了一千边形的例子。例如大卫·休谟指出，“肉眼不可能确定一千边形内角和为1996倍的直角，或者做出任何接近其比例的猜想。”^[15]:101。哥特佛莱德·莱布尼兹评论了约翰·洛克对一千边形的使用，其指出人们可以在没有图像的情况下了解多边形，并将想法与图像区分开来^[16]:53。

正一千边形具有Dih₁₀₀₀的二面体群对称性，阶数为2000，可由1,000条镜像线表示。二面体群Dih₁₀₀具有15个二面体子群： Dih₅₀₀、 Dih₂₅₀、 Dih₁₂₅、 Dih₂₀₀、 Dih₁₀₀、 Dih₅₀、 Dih₂₅、 Dih₄₀、 Dih₂₀、 Dih₁₀、 Dih₅、 Dih₈、 Dih₄、 Dih₂和Dih₁。它还有16个循环对称作为子群：Z₁₀₀₀、 Z₅₀₀、 Z₂₅₀、 Z₁₂₅、 Z₂₀₀、 Z₁₀₀、 Z₅₀、 Z₂₅、 Z₄₀、 Z₂₀、 Z₁₀、 Z₅、 Z₈、 Z₄、 Z₂和Z₁，其中Z_n表示π/n弧度的旋转对称性。

约翰·康威用一个字母标记这些较低的对称性，对称的阶数位于字母后方。^[17]其以d（diagonal，对角线）表示镜像线通过顶点、p（perpendicular，垂直）表示镜像线通过边、i表示镜像线通过顶点和边、g表示旋转对称。而a1用于标记无对称性。

这些较低的对称性允许在定义不规则一千边形时具有自由度。 只有g1000子群没有自由度，但可以看成有向边（英语：Directed edge）。

• 一百万边形

• chiliagon